Circuit Analysis Final Review

注意事项

电路复杂时特别注意方向

受控电压电流源

它们都长什么样?! 按照横竖线来判断是电压源还是电流源, 不要被受控关系式误导 比如关系写着$2\times 10^{3}i$, 就误以为这是一个电流源(这个系数一看就显然不可能..)

回路电流法

如果有电流源

• 电流源只在一个回路中: 这个回路的电流就设为电流源的电源
• 电流源被两个回路共用: 把两个回路合在一起变成一个大回路, 但是两边的回路电流不相同, 它们之间的约束由电流源的电流决定

等效电路

只对外等效, 不对内等效 所以原电路的负载功率等于等效后电路的负载功率; 但是原电路的电源功率不等于等校后的电路的电源功率

等效变换

和电压源并联, 和电流源串联的电阻可以直接去除

叠加定理

如果有受控电流源, 单独作为激励时其参数和原电路中的对应参数一致 短路电压源, 断路电流源

要求多个电流源和电压源的功率时, 需要先计算每一个电源$E_i$单独作用的时候

• 通过电压源的电流$I_i$
• 电流源两端的电压$U_i$ 然后把他们加在一起, 最后得到真实的电流和电压, 才能计算功率

叠加的时候注意方向!

相量法

两个相量的相位差应当在$[-180^{\circ },180^{\circ }]$之间.

正弦稳态电路

交流电表通常显示的是测量量的有效值

符号问题

题目中出现电压 电流或者是$U$, $I$这种不带点点符号的时候, 我们默认这是指对应复数量的模长, 如果说电压相等$U$相等的话也是大小相等, 而不是实部和虚部相等

功率相关

复功率还是有功/无功功率? 不好忘记复功率中的电流要取共轭 功率的符号, 吸收还是放出?

杂项

由一个电容$C$和一个电阻$R$与电感$L$的串联支路并联而成的负载, 在$LC=\frac{1}{2{\omega }^2}$的时候, 总负载的阻抗大小不变, 但是相位会随$R$变化

复习计划

第九章

• 例题
• 考研例题

第八章

• 例题
• 考研例题

第七章

• 例题
• 考研例题

第六章

• 例题
• 考研例题

第四章*

戴维宁等效电路

使用条件

• 线性电路: 电阻, 电容和电感的大小不随电流和电压变化; 受控源的输出与控制量之间也是线性关系
• 端口定义明确

使用步骤

• 先确定分析的负载和对应的端口
• 把端口断路, 计算端口的电压, 这就是戴维宁等效电压
• 把端口短路, 计算流过端口的电流, 断路端口电压除以短路端口电流就是戴维宁等效电阻 或者在端口处接上一个辅助电压或者电流源

一阶电路的时域分析

电路响应

响应	RC 电路	RL 电路
零输入响应	$u_C=U_0\exp (-t/RC)$	$i_L=I_0\exp (-t/(L/R))$
零状态响应	$u_C=U_S\left[1-\exp \left(-\frac{t}{RC}\right)\right]$	$i_L=\frac{U_S}{R}\left[1-\exp \left(-\frac{t}{L/R}\right)\right]$
全响应响应	$u_C=U_S+(U_0-U_S)\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right),\tau =RC$	$i_L=\frac{U_S}{R}\left[1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)\right],\tau =\frac{L}{R}$

三要素法

$$f(t)=f(\infty )+\left[f(0_{+})-f(\infty )\right]\exp (-t/\tau )$$

Warning

三要素法只适用于一阶电路, 如RC电路和LC电路, 如果电路中同时存在电容和电感, 则不能使用这个公式

但是三要素法不止适用于电容的电压或者电感的电流, 可以是整体负载的电压或者电流

阶跃响应

阶跃函数

$$\epsilon (t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ 1,& t>0\end{array}$$

可以用来

• 模拟开关的作用
• 起始一个函数$f(t)\epsilon (t-t_0)$
• 延迟一个函数$f(t)\epsilon (t+t_0)$

一阶电路的阶跃响应

当电路的激励为单位阶跃函数时, 相当于将电路再$t=0$时接通电压值为1V的直流电压源或者电流值为1A的直流电流源

e.g. 如果我们对一个RC电路在$t=0$时接通电源, 又在$t=\tau =RC$时又断开电源, 那么激励就是

$$u_S(t)=U_S\epsilon (t)-U_S\epsilon (t-\tau )$$

而单位阶跃响应为

$$s(t)=\left[1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)\right]\epsilon (t)$$

所以有响应

$$u_C(t)=U_S\left[1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)\right]\epsilon (t)-U_s\left[1-\exp \left(-\frac{t-\tau }{\tau }\right)\right]\epsilon (t-\tau )$$

正弦稳态电路的分析

阻抗和导纳

阻抗

• 定义: 阻抗用符号 $Z$ 表示, 它是一个复数, 用来描述电路元件对交流电的阻碍程度. 阻抗不仅包含电阻对电流的阻力, 还包含由电感和电容引起的对电流变化的阻力.

• 单位: 欧姆 (Ω)

• 公式: $Z=R+jX$

  • $R$ 是电阻（real part of impedance）, 单位为欧姆 (Ω)
  • $X$ 是电抗（imaginary part of impedance）, 单位为欧姆 (Ω)
    • 电抗进一步分为感抗 ($X_L$)和容抗 ($X_C$), 其中$X=X_L-X_C$.
    • 感抗: $X_L=2\pi fL=\omega L$, 其中 $f$ 是频率, $\omega$是角频率, $L$ 是电感.
    • 容抗: $X_C=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{\omega C}$, 其中 $C$ 是电容.
  • $j$ 是虚数单位, 满足 $j^2=-1$.

• 阻抗的模和相角:

• 阻抗的模值(magnitude) 表示总的阻碍效果, 用 $|Z|$ 表示:

$$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$$

• 阻抗的相角 (phase angle) 表示电压和电流之间的相位差, 用 $\theta$ 表示:

$$\theta =\arctan (\frac{X}{R})$$

• 意义: 阻抗在交流电路中起着类似于电阻在直流电路中的作用. 电压和电流之间的关系遵循类似于欧姆定律的规律: $V=IZ$ （均为相量）. 阻抗的大小决定了电路的电流大小, 而阻抗的相角则决定了电流的相位.

导纳

是阻抗的倒数, 单位为西门子(S), 常用作并联电路的分析

Tip

区分概念:

• 电阻
• 电导
• 电抗
• 电纳
• 阻抗
• 导纳

分析正弦稳态电路

理解正弦稳态的概念

• 正弦激励: 电路中的激励源（如电压源或电流源）是正弦波信号, 形式如 $v(t)=V_m\cos (\omega t+\varphi )$ 或者 $i(t)=I_m\cos (\omega t+\varphi )$. 其中, $V_m$ 和 $I_m$ 分别是电压和电流的幅值, $\omega$ 是角频率, $\varphi$ 是相位角.
• 稳态: 电路经过一段时间的瞬态过程后, 其电压和电流都呈现出与激励源相同的频率的正弦波形, 并且幅值和相位保持不变的状态. 在稳态下, 电路中的电压和电流都将以正弦形式振荡, 且频率与激励源的频率相同.
• 重点: 正弦稳态分析强调的是电路在长期处于正弦激励下的行为, 忽略了初始瞬态过程.

使用相量法

相量法是将时域中的正弦信号转化为频域中的复数（相量）, 从而把微分方程转化为代数运算的强大工具.

• 将时域信号转换为相量:

Tip

相量只包含幅值和相位信息, 它隐含了频率 $\omega$. 因此, 所有信号的频率必须相同才能使用相量法.

Tip

如果要把瞬时量转化为相量, 先把系数除以$\sqrt{2}$, 将其转化为有效值

• 电路元件的相量模型:
  • 电阻 (R): 阻抗 $Z_R=R$, 电流电压相量关系 $\vec{V}=R\vec{I}$.
  • 电感 (L): 阻抗 $Z_L=j\omega L$, 电流电压相量关系 $\vec{V}=j\omega L\vec{I}$.
  • 电容 (C): 阻抗 $Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}$, 电流电压相量关系 $\vec{V}=\frac{1}{j\omega C}\vec{I}$.

应用电路分析方法

将电路中的元件都转换为相量模型后, 就可以使用和直流电路类似的分析方法:

• 基尔霍夫定律（KCL 和 KVL）:
  • KCL（节点电流定律）: 在任何节点, 流入的相量电流之和等于流出的相量电流之和.
  • KVL（回路电压定律）: 在任何闭合回路, 所有元件的相量电压之和等于零.
• 串并联电路的等效阻抗/导纳:
  • 串联元件: 等效阻抗是各个阻抗之和: $Z_{eq}=Z_1+Z_2+...$
  • 并联元件: 等效导纳是各个导纳之和: $Y_{eq}=Y_1+Y_2+...$. 等效阻抗可以使用 $\frac{1}{Z_{eq}}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+...$计算.
• 分压/分流法则:
  • 串联分压: $V_i=\frac{Z_i}{Z_{eq}}{V}_s$
  • 并联分流: $I_i=\frac{Y_i}{Y_{eq}}{I}_s$
• 叠加定理: 用于分析具有多个独立源的电路, 可以分别计算每个源的效果, 然后叠加结果.
• 戴维宁/诺顿定理: 可以将复杂电路等效为一个简单的电压源或电流源和阻抗的组合, 便于分析部分电路.
• 网孔分析法和节点分析法: 可以用于求解复杂电路的方程组.

解方程组并求出相量

使用以上方法建立方程组, 求解出电路中各个电压和电流的相量, 也就是以复数形式表示的电压或电流.

将相量转换回时域信号

• 根据相量所代表的幅值和相位, 写出时域中的正弦信号形式.
  • 如果 $\vec{V}=V_m{e}^{j\varphi }$ , 对应的时域信号为 $v(t)=V_m\cos (\omega t+\varphi )$.
  • 如果 $\vec{I}=I_m{e}^{j\varphi }$, 对应的时域信号为 $i(t)=I_m\cos (\omega t+\varphi )$
• 注意: 记住在计算结果时添加正确的角频率 $\omega$

功率

正弦稳态电路中的功率有多种形式, 它们都与电路中的电压和电流的相位关系有关. 以下是主要的几种功率形式:

瞬时功率 (Instantaneous Power), $p(t)$

瞬时功率是指在给定时刻电路元件吸收或提供的功率. 对于一个电压为 $v(t)$, 电流为 $i(t)$ 的元件, 其瞬时功率定义为:

$$p(t)=v(t)i(t)$$

在正弦稳态电路中, 电压和电流都是正弦波, 可以表示为: $v(t)=V_m\cos (\omega t+{\theta }_v)$ $i(t)=I_m\cos (\omega t+{\theta }_i)$

那么瞬时功率可以表示为:

$$p(t)=V_m{I}_m\cos (\omega t+{\theta }_v)\cos (\omega t+{\theta }_i)$$

利用三角恒等式,

$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$$

得到

$$p(t)=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m[\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)+\cos (2\omega t+{\theta }_v+{\theta }_i)]$$

其中 ${\theta }_v-{\theta }_i$ 是电压和电流的相位差, 我们通常把它记为 $\varphi$, 即 $\varphi ={\theta }_v-{\theta }_i$

所以, 瞬时功率可以写成:

$$p(t)=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m[\cos \varphi +\cos (2\omega t+{\theta }_v+{\theta }_i)]$$

瞬时功率由两部分组成: 一个常数项 (与时间无关), $\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos \varphi$, 以及一个随时间变化的项, $\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos (2\omega t+{\theta }_v+{\theta }_i)$. 瞬时功率通常是一个难以分析的量.

平均功率 (Average Power), $P$

平均功率是指在一个周期内瞬时功率的平均值. 在正弦稳态电路中, 平均功率是电路中真正消耗或提供的功率, 也是我们最常关心的功率. 根据瞬时功率的表达式, 可以看出其第二项部分在一个周期内的平均值为0

$$P=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}p(t)dt$$

其中 $T$ 是周期, $T=\frac{2\pi }{\omega }$. 因此, 瞬时功率的平均值可以通过如下计算:

$$P=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos \varphi =V_{rms}{I}_{rms}\cos \varphi$$

其中 $V_{rms}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$ 和 $I_{rms}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}$ 分别是电压电流的有效值(RMS). $\varphi$ 是电压和电流的相位差角度. $\cos \varphi$ 被称为功率因数. 平均功率单位为瓦特 (W).

相量的符号约定

• 瞬时值: $i,u$
• 最大值: $I_m,U_m$
• 有效值: $I,U$ 或者 $I_{rms},U_{rms}$

无功功率 (Reactive Power), $Q$

无功功率是指在电路中进行的能量交换, 但不实际消耗的功率. 它与电路中的电感和电容有关. 无功功率定义为:

$$Q=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\sin \varphi =V_{rms}{I}_{rms}\sin \varphi$$

注意, 这里使用的是相位差的 sin 值. 无功功率的单位为乏 (VAR). 无功功率不产生负载的平均能量消耗. 电感器和电容器会在每个周期内分别存储和释放能量, 所以交流电路中电感和电容的功耗为零.

视在功率 (Apparent Power), $S$

视在功率是电压和电流有效值的乘积, 它的大小表示电路的总容量, 而不考虑实际消耗的功率. 定义为:

$$S=V_{rms}{I}_{rms}$$

视在功率的单位为伏安 (VA). 视在功率是一个标量, 不反应负载的功耗大小.

复功率 (Complex Power), $\mathbf{S}$

复功率是视在功率与相位信息结合的复数表示, 是更全面的功率表示方法, 它能将平均功率和无功功率包含在一个表达式中:

$$\mathbf{S}=\frac{1}{2}\mathbf{V}{\mathbf{I}}^{\ast }$$

其中 $\mathbf{V}$ 和 $\mathbf{I}$ 分别是电压和电流的相量表示, ${\mathbf{I}}^{\ast }$ 是电流相量的共轭复数. 复功率也可以表示为:

$$\mathbf{S}=P+jQ$$

其中 $P$ 是平均功率, $Q$ 是无功功率, $j$ 是虚数单位. 复功率的大小和相位可以通过下面的公式计算

$$|\mathbf{S}|=\sqrt{P^2+Q^2}=S$$ $$\angle \mathbf{S}=\arctan (\frac{Q}{P})=\varphi$$

总结

• 瞬时功率 $p(t)$: 随时间变化, 是一个瞬间的能量流, 不容易直接分析.
• 平均功率 $P$: 在一个周期内能量的平均值, 代表实际消耗的功率.
• 无功功率 $Q$: 电路中能量的交换, 与感性和容性元件相关.
• 视在功率 $S$: 电压和电流有效值的乘积, 表示电路的总容量, 不反映实际做功的能力.
• 复功率 $\mathbf{S}$: 包含平均功率和无功功率的复数表示, 提供了完整的功率信息.

最大功率传输定理

正弦稳态电路中的最大功率传输定理, 也称为最大功率传输条件, 是指为了使负载从一个给定的线性源获得最大功率, 负载阻抗应该与源的等效阻抗存在特定的关系.

定理内容

对于一个由带有内阻抗 ${\mathbf{Z}}_{\mathbf{s}}$ 的电压源或电流源供电的负载阻抗 ${\mathbf{Z}}_{\mathbf{L}}$ 的线性电路, 为了使负载 ${\mathbf{Z}}_{\mathbf{L}}$ 获得最大平均功率, ${\mathbf{Z}}_{\mathbf{L}}$ 必须等于源阻抗 ${\mathbf{Z}}_{\mathbf{s}}$ 的共轭复数, 即:

$${\mathbf{Z}}_{\mathbf{L}}={{\mathbf{Z}}_{\mathbf{s}}}^{\ast }$$

如果源阻抗 ${\mathbf{Z}}_{\mathbf{s}}$ 和负载阻抗 ${\mathbf{Z}}_{\mathbf{L}}$ 分别表示为:

$${\mathbf{Z}}_{\mathbf{s}}=R_s+j{X}_s$$ $${\mathbf{Z}}_{\mathbf{L}}=R_L+j{X}_L$$

那么, 最大功率传输条件可以表示为:

$$R_L=R_s$$ $$X_L=-X_s$$

也就是说, 负载电阻必须等于源电阻, 负载电抗必须等于源电抗的负值.

推导简述

为了推导这个结论, 我们可以考虑一个由戴维宁等效电路表示的源, 其等效电压为 ${\mathbf{V}}_{\mathbf{s}}$, 等效阻抗为 ${\mathbf{Z}}_{\mathbf{s}}=R_s+j{X}_s$ . 负载阻抗为 $Z_L=R_L+j{X}_L$. 负载上的电流为:

$$\mathbf{I}=\frac{{\mathbf{V}}_{\mathbf{s}}}{{\mathbf{Z}}_{\mathbf{s}}+{\mathbf{Z}}_{\mathbf{L}}}=\frac{{\mathbf{V}}_{\mathbf{s}}}{(R_s+R_L)+j(X_s+X_L)}$$

负载上的平均功率为:

$$P_L=\frac{1}{2}|\mathbf{I}{|}^2{R}_L=\frac{1}{2}\frac{|{\mathbf{V}}_{\mathbf{s}}{|}^2}{(R_s+R_L{)}^2+(X_s+X_L{)}^2}{R}_L$$

为了找到使 $P_L$ 最大的 $R_L$ 和 $X_L$, 我们可以对 $P_L$ 分别对 $R_L$ 和 $X_L$ 求偏导数, 并令其为零. 更简单的方法是, 第一步 先固定$R_L$值, 我们只要最小化分母里的$(X_s+X_L{)}^2$,因此当$X_L=-X_s$时, 分母达到最小值, 其次我们对得到的关于$R_L$的式子$P_L$求导, 可以得到$R_L$ 需要等于$R_s$时, 功率最大

注意事项

• 效率: 最大功率传输定理并不意味着最高的效率. 当源阻抗匹配负载阻抗时, 虽然负载获得最大功率, 但同时也有一半的功率在源内耗散, 效率只有50%. 通常在电力系统中, 为了提高效率, 负载阻抗会远大于源阻抗.
• 应用场景: 仅在需要最大化传递到负载的功率时才使用最大功率传输原理. 对于大多数电力应用而言, 目标通常是最小化损耗并实现最大效率, 在这种情况下, 负载阻抗不应与源阻抗匹配.