Root Locus Analysis

根轨迹的基本概念

动机

根轨迹法是分析 连续线性控制系统 的一种 复数域 分析方法. 它主要研究系统的 闭环极点 如何跟随某个 系统参数 (通常是开环增益 $K_g$) 从 $0$ 到 $+\infty$ 时在 $s$ 平面上的变化轨迹.

根轨迹方程

设系统的闭环传递函数

$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1\pm G(s)H(s)}$$

对应的特征方程就是 $1\pm G(s)H(s)=0⟹G(s)H(s)=\mp 1$. 如果开环传递函数 $G_k(s)=G(s)H(s)$ 可以被写成

$$G(s)H(s)=K_g\frac{M(s)}{N(s)}=\frac{K_g{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-p_j)}$$

那么根轨迹的参数方程就是

$$\frac{K_g{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-p_j)}=\mp 1$$

称为 根轨迹方程. 这里 $-1$ 对应负反馈, 是最常见的情况; $+1$ 对应正反馈.

根轨迹条件

幅值条件 (Magnitude Condition):

$$|G(s)H(s)|=K_g\frac{{\prod }_{i=1}^m|s-z_i|}{{\prod }_{j=1}^n|s-p_j|}=1\Rightarrow K_g=\frac{{\prod }_{j=1}^n|s-p_j|}{{\prod }_{i=1}^m|s-z_i|}$$

用于计算根轨迹上某一点对应的根轨迹增益 $K_g$. 相角条件 (Angle Condition / Phase Condition):

$$\angle G(s)H(s)=\sum _{i=1}^m\angle (s-z_i)-\sum _{j=1}^n\angle (s-p_j)=\{\begin{array}{ll}(2k+1)\pi & \text{(负反馈, }180^{\circ }\text{ 根轨迹)}\\ 2k\pi & \text{(正反馈, }{0}^{\circ }\text{ 根轨迹)}\end{array}(k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$

这是绘制根轨迹的 充要条件.

Tip

主要依据 相角条件 来确定 s 平面上满足条件的点的集合. 找到轨迹后, 再用 幅值条件 确定轨迹上某一点对应的 $K_g$ 值.

根轨迹分支

$n$ 阶系统有 $n$ 个根, 根轨迹有 $n$ 条分支.

• 每条分支的起点 $(K_g=0)$ 位于开环极点处
• 每条分支的终点 $(K_g\to \infty )$ 或为开环零点处 (一共 $m$ 个), 或为无限远点 (一共 $n-m$ 个) 各分支重叠的点, 称为 分离点 或 汇合点

根轨迹的基本绘制规则

规则1: 起点和终点

根轨迹 起始 于开环极点 ( $p_j$ ). 根轨迹 终止 于开环零点 ( $z_i$ ) 或无穷远处.

规则 2: 分支数、连续性和对称性

• 分支数: 根轨迹的分支数等于开环极点的个数 $n$ .
• 连续性: 根轨迹是 $n$ 条连续的曲线.
• 对称性: 由于系统系数通常为实数, 特征根若为复数必共轭出现, 因此根轨迹关于 实轴对称.

规则3: 实轴上的根轨迹

实轴上的某一段, 若其 右侧 的 开环实数零点和极点 的 总数 为 奇数, 则该段是根轨迹的一部分. ( "奇是偶不是" ).

这是因为复数零极点对实轴上的根轨迹分布没有影响, 每一对复数零极点对相角条件的贡献为 $2\pi$, 对条件相当于没有影响

规则4: 渐近线

当 $K_g\to \infty$ 时, 有 $n-m$ 条根轨迹分支趋向无穷远处, 它们沿着 $n-m$ 条 渐近线 而去.

• 渐近线与实轴的交点 (质心):

$${\sigma }_a=\frac{{\sum }_{j=1}^n{p}_j-{\sum }_{i=1}^m{z}_i}{n-m}$$

• 渐近线与实轴的夹角:

$${\varphi }_a=\frac{(2k+1)\pi }{n-m},k=0,1,2,\dots ,n-m-1$$

规则5: 分离点/汇合点

分离点/汇合点是根轨迹在 s 平面上相遇后又分开的点, 对应于闭环系统的 重根, 它们或者位于实轴上 (在满足规则3的根轨迹段内), 或者以共轭复数形式出现.

计算方法:

1. 微分法: 在重根附近的时候, 根轨迹的分支相遇, 求解 $\frac{\partial D(s)}{\partial s}=0$, 这里 $D(s)$ 是 闭环特征方程, 也就是 $\Phi (s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{G(s)}{1+G_k(s)}$ 的分母.
2. 公式法 (微分法的另一种表达形式): 求解方程 ${\sum }_{i=1}^m\frac{1}{d-z_i}={\sum }_{j=1}^n\frac{1}{d-p_j}$ 的根 $d$ . (注意: 若无开环零点, 左侧为0).

• 验证: 求出的根必须是根轨迹上的点 (满足相角条件) 才是真正的分离点/汇合点. (不是所有的解都是分离点/汇合点)

分离角 (Angle of Separation): 若 $k$ 条根轨迹在一点汇合/分离, 则相邻分支间的夹角为 ${\theta }_d=\frac{180^{\circ }}{k}$ (对于180°轨迹).

规则6: 出射角和入射角

• 出射角 ( ${\theta }_{p_i}$ ): 根轨迹离开 开环复数极点 $p_i$ 处的切线与 正实轴 的夹角.

$${\theta }_{p_i}=\pi +\sum _{j=1}^m\angle (p_i-z_j)-\sum _{j=1,j\ne i}^n\angle (p_i-p_j)$$

( $\pi$ 即 $180^{\circ }$ . 可记为: $180^{\circ }+(\text{所有零点到 }{p}_i\text{ 的相角和})-(\text{其他所有极点到 }{p}_i\text{ 的相角和})$ ).

• 入射角 ( ${\varphi }_{z_i}$ ): 根轨迹进入 开环复数零点 $z_i$ 处的切线与 正实轴 的夹角.

$${\varphi }_{z_i}=\pi +\sum _{j=1}^n\angle (z_i-p_j)-\sum _{j=1,j\ne i}^m\angle (z_i-z_j)$$

( $\pi$ 即 $180^{\circ }$ . 可记为: $180^{\circ }+(\text{所有极点到 }{z}_i\text{ 的相角和})-(\text{其他所有零点到 }{z}_i\text{ 的相角和})$ ).

Tip

出射角: $\pi$ 加零去余极; 入射角: $\pi$ 加极去余零

规则7: 与虚轴的交点

根轨迹与虚轴 $j\omega$ 的交点对应系统 临界稳定 状态. 计算方法:

1. 特征方程法: 令闭环特征方程 $D(s)=0$ 中的 $s=j\omega$ , 分别令实部和虚部为零, 可以分别求解交点频率 ${\omega }_c$ 和对应的临界增益 $K_g$ .
2. 劳斯判据法: 构造闭环特征方程的劳斯表, 令 $s^1$ 行 (或使某行为全零的行) 的系数为零, 求解临界增益 $K_g$ . 再利用全零行上一行的偶次幂系数构造辅助方程, 求解辅助方程的根即为虚轴交点 $\pm j{\omega }_c$ .

规则8: 根之和

如果开环传递函数的阶次差 $n-m\ge 2$ , 则当 $K_g$ 从 $0\to \infty$ 变化时, 闭环特征方程所有根 (闭环极点) 的和保持不变, 且等于所有开环极点之和.

$$\sum _{k=1}^n{s}_k=\sum _{j=1}^n{p}_j=\text{常数}$$

物理意义: 极点 重心 不变. 根轨迹各分支的移动需要保持总和平衡.

规则9: 根轨迹增益的计算

根轨迹上任意一点 $s_1$ 对应的根轨迹增益 $K_g$ 可以利用 幅值条件 计算:

$$K_g=\frac{{\prod }_{j=1}^n|s_1-p_j|}{{\prod }_{i=1}^m|s_1-z_i|}=\frac{\text{点 }{s}_1\text{ 到所有开环极点的距离乘积}}{\text{点 }{s}_1\text{ 到所有开环零点的距离乘积}}$$

根轨迹的应用

确定闭环零点和闭环极点

根轨迹的端点是开环零点/极点和无穷点, 但是轨迹本身反应的是闭环极点

闭环传递函数 $\Phi (s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$ .

• 闭环零点: 由前向通道传递函数 $G(s)$ 的零点和反馈通道传递函数 $H(s)$ 的 极点 组成.
• 闭环极点: 对于给定的 $K_g$ 值, 闭环极点就是根轨迹上对应于该 $K_g$ 值的点.

分析闭环零极点分布对系统性能的影响

• 稳定性: 所有闭环极点必须位于 s 平面的左半平面. 根轨迹是否穿越虚轴决定了系统的稳定范围和临界增益 $K_{cr}$ .
• 动态性能 (瞬态响应):
  • 由 主导极点 (离虚轴最近且无邻近零点的极点) 决定.
  • 极点位置: 远离虚轴 $\to$ 快速性好 (调节时间短); 远离实轴 $\to$ 振荡频率高; 阻尼角 $\beta =\arccos (\zeta )$ 大 (靠近实轴, 阻尼比 $\zeta$ 大) $\to$ 平稳性好 (超调小).
• 稳态性能: 与开环传递函数在原点的极点数 (系统类型) 和开环增益有关.

分析开环零极点分布对系统性能的影响 (通过它们对根轨迹的影响)

• 增加开环零点:
  • 通常使根轨迹向 左 移动 (趋向零点).
  • 提高系统的 稳定度 和相对稳定性.
  • 改善系统的 动态特性 (可能加快响应速度, 减小超调).
  • 改变实轴分布和渐近线.
  • 若零点与极点靠近形成 偶极子 (dipole), 可抵消该极点的不良影响.
• 增加开环极点:
  • 通常使根轨迹向 右 移动.
  • 降低系统的 稳定度.
  • 可能损害动态特性, 使 快速性变差.
  • 改变实轴分布和渐近线.

系统设计与校正 (P117-P123)

• 根据性能要求 (如阻尼比 $\zeta$ , 调节时间 $t_s$ , 稳态误差), 在 s 平面上确定期望的闭环主导极点区域.
• 通过调整增益 $K_g$ 或 增加校正环节 (引入新的开环零点和/或极点) 来 ** reshaping (重塑)** 根轨迹, 使其通过期望区域.
• 例如: 增加零点 (PD 校正思想) 改善稳定性; 增加积分环节 (极点在原点, PI 校正思想) 消除稳态误差, 但可能降低稳定性, 需要配合其他校正.

广义根轨迹