Signals and Systems Final Review

重点TODO

一些技巧

看图写信号形式

对于分段的函数, 比如说在区间$[a,b]$上是函数$f(t)$, 那么这一段就可以写成$f(t)\left[u(t-a)-u(t-b)\right]$

$$\frac{1}{1+\exp (-j\omega )}+\frac{1}{1+\exp (j\omega )}-1$$ $$2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -(2k+1)\pi )$$

Fourier 变换

CTFT

定义

正变换

$$X(\omega )=\mathcal{F}\left\{x(t)\right\}={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\exp (-j\omega t)\mathrm{d}t$$

逆变换

$$x(t)={\mathcal{F}}^{-1}\left\{X(\omega )\right\}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }X(\omega )\exp (j\omega t)\mathrm{d}\omega$$

Tip

逆变换中出现$\frac{1}{2\pi }$是因为这里我们用的是角频率$\omega$, 如果我们使用频率$f$, 就不会有这个系数了.

性质

如果$x(t)$是周期函数(也就是说存在Fourier级数$a_k$), 那么我们就有

$$X(\omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$$

这里的${\omega }_0$满足${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$, 其中$T$是$x(t)$的基波周期. 这也很好理解, 我们考虑$x(t)$的Fourier级数展开

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k\exp (jk{\omega }_{0}t).$$

这里$a_k$对应的频率就是$k{\omega }_0$.

时域卷积是很熟悉的:

$$x(t)\ast y(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(\omega )Y(\omega )$$

但是频域卷积需要注意$\frac{1}{2\pi }$:

$$x(t)y(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }\frac{1}{2\pi }X(\omega )\ast Y(\omega )$$

时域的平移对应着频域的相移

$$x(t-t_0)=x(t)\ast \delta (t-t_0)\stackrel{F}{\leftrightarrow }\exp (-j\omega t_0)X(\omega )$$

而频移就需要反过来(左右移动的符号是相反的)

$$x(t)\exp (j{\omega }_{0}t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(\omega -{\omega }_0)$$

时域的微分就是频域乘上$j\omega$

$$x^{\prime }(t)=x(t)\ast {\delta }^{\prime }(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }j\omega X(\omega )$$

频域微分并乘上$j$就是时域乘个$t$

$$tx(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }j{X}^{\prime }(\omega )$$

时域的缩放和频域要倒着来

$$x(\alpha t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }\frac{1}{|\alpha |}X\left(\frac{\omega }{\alpha }\right)$$

特别地, 对于镜像

$$x(-t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(-\omega )$$

如果我们想获取频域的实部, 则可以构造偶函数

$$\mathcal{E}v\left\{x(t)\right\}=\frac{1}{2}\left[x(-t)+x(t)\right]\stackrel{F}{\leftrightarrow }\mathcal{R}e\left\{X(\omega )\right\}$$

同理也可以构造奇函数

$$\mathcal{O}d\left\{x(t)\right\}=\frac{1}{2}\left[x(t)-x(-t)\right]\stackrel{F}{\leftrightarrow }\mathcal{I}m\left\{X(\omega )\right\}$$

Parseval定理

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|x(t)\right|}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|X(\omega )\right|}^2\mathrm{d}\omega$$

这告诉我们Fourier保持能量不变或者说保持L2范数不变, Fourier变换可以在Hilbert空间中视为一个旋转变换.

特殊函数的CTFT

Delta函数和它的导数

$$\begin{array}{rl}\delta (t-t_0)& \to \exp (-j\omega t_0)\\ {\delta }^{\prime }(t-t_0)& \to j\omega \exp (-j\omega t_0)\end{array}$$

指数函数

$$\exp (j{\omega }_{0}t)\to 2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)$$

对于周期方波, 我们回忆它的Fourier级数为$a_k=\lambda \mathrm{sinc}(\lambda k\pi )$, 这里$\lambda$是有效长度占总长度的比例, 于是我们有

$$X(\omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }2\pi \lambda \sin (\lambda k\pi )\delta (\omega -k{\omega }_0)$$

对于单位冲击串$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)$, 它的Fourier系数为$a_k=\frac{1}{T}$. 于是我们有

$$X(\omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\frac{2\pi }{T}\delta (\omega -k{\omega }_0)$$

利用Euler公式, 我们还可以得到三角函数的CTFT:

$$\begin{array}{rl}\sin ({\omega }_{0}t)=\frac{1}{2j}\left(\exp (j{\omega }_{0}t)-\exp (-j{\omega }_{0}t)\right)& \to \frac{\pi }{j}\delta (\omega -{\omega }_0)-\frac{\pi }{j}\delta (\omega +{\omega }_0)\\ \cos ({\omega }_{0}t)=\frac{1}{2}\left(\exp (-j{\omega }_{0}t)+\exp (j{\omega }_{0}t)\right)& \to \pi \delta (\omega -{\omega }_0)+\pi \delta (\omega +{\omega }_0).\end{array}$$

方波脉冲信号

$$x(t)=\{\begin{array}{ll}1,& \left|t\right|<T_1\\ 0,& \left|t\right|>T_1\end{array}⟹X(\omega )=\frac{2\sin \omega T_1}{\omega }$$

反过来也是

$$x(t)=\frac{\sin Wt}{\pi t}⟹X(j\omega )=\{\begin{array}{ll}1,& \left|\omega \right|<W\\ 0,& \left|\omega \right|>W\end{array}$$

同样注意这里也差了一个$2\pi$的因子.

对于单位阶跃函数

$$u(t)\to \frac{1}{j\omega }+\pi \delta (\omega )$$

乘上一个$\exp$衰减系数之后

$$\exp (-at)u(t)\to \frac{1}{a+j\omega }$$

不断利用频域微分性质, 就得到

$$\begin{array}{rl}t\exp (-at)u(t)& \to \frac{1}{(a+j\omega {)}^2}\\ \frac{t^2}{2}\exp (-at)u(t)& \to \frac{1}{(a+j\omega {)}^3}\\ & ⋮\end{array}$$

DTFT

定义

正变换, 相较于CTFT就是由连续变成离散

$$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\exp (-j\omega n)$$

由此得到的$X(\omega )$是周期为$2\pi$的函数, 满足$X(\omega +2\pi )=X(\omega )$.

逆变换, 相较于CTFT就是积分限不一样

$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }X(\omega )\exp (j\omega n)\mathrm{d}\omega$$

注意这里是$x[n]$而不是$x(t)$. 且我们可以对任意长度为$2\pi$的区间积分得到$x[n]$.

Tip

同样不要忘记这里的$\frac{1}{2\pi }$!

性质

对于周期的离散信号, 和CTFT一样, 我们有

$$X(\omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$$

这里${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{N}$. 和CTFT是一模一样的. $a_k$由DFS给出, 我们顺便回顾一下DFS的定义

$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\exp \left(-jk{\omega }_{0}n\right)$$

以及

$$a[n]=\sum _{n=0}^{N-1}{a}_k\exp (jk{\omega }_{0}n)$$

Note

这里的$a_k$实际上也是周期的. 比如说$\exp (j{\omega }_{0}n)$的DFS是 $a_k=\{\begin{array}{ll}1,& k\equiv 1(\mathrm{mod}N)\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$ 这时候对$X(\omega )$有贡献的项的$\omega$就满足 $\omega =k{\omega }_0=k\frac{2\pi }{N}=(1+lN)\frac{2\pi }{N}=\frac{2\pi }{N}+2\pi l={\omega }_0+2\pi l$ 那么由此可以得到$\exp (j{\omega }_{0}n)$的DTFT是 $2\pi \sum _{l=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)$

时域平移, 频域平移和CTFT是一样的.

对于时域拓展

$$x_{(k)}[n]=\{\begin{array}{ll}x[n/k],& k\mid n\\ 0,& k\nmid n\end{array}\to X(k\omega )$$

就是让时域变得更加稀疏, 在信号之间插入$0$, 但是这会让时域变得更加密集.

时域卷积和CTFT也是一样的, 但是对于频域卷积, 同样需要加上$\frac{1}{2\pi }$项

$$a[n]b[n]\stackrel{F}{\leftrightarrow }\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(\theta )Y(\omega -\theta )\mathrm{d}\theta$$

不过右边的卷积积分限从$\mathbb{R}$缩小到了长度为$2\pi$的区间.

CTFT中的时域微分在DTFT中变成了时域差分, 这个就不是什么特殊的性质, 可以直接通过时域平移性质结合线性性质得到

$$a[n]-a[n-1]\stackrel{F}{\leftrightarrow }\left[1-\exp (-j\omega )\right]X(\omega )$$

差分的逆运算就是求和, 所以可以想象这时候右边会有$\frac{1}{1-\exp (-j\omega )}$的系数

$$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\stackrel{F}{\leftrightarrow }\frac{1}{1-\exp (-j\omega )}X(\omega )+\pi X(0)\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -2\pi k)$$

这里右边出现的奇异项的原因是, 左边的无限累加对DC项(常数项, 也就是频域里的$X(0)$)非常敏感, 会形成一个无穷大的数, 这在频域里就表现成为一个冲激项

对于频域微分, 也和CTFT一样

$$nx[n]\stackrel{F}{\leftrightarrow }j{X}^{\prime }(\omega )$$

也可以通过构造偶函数和奇函数来获取频域的实部和虚部

特殊函数的DTFT

对于因果指数衰减信号$a^{n}u[n],\left|a\right|<1$, 我们有DTFT为$\frac{1}{1-a\exp (-j\omega )}$.

Tip

可对比CTFT的情况, $\exp (-at)u(t)$的CTFT为$\frac{1}{a+j\omega }$

利用频域微分性质, 我们有

$$n{a}^{n}u[n]\stackrel{F}{\leftrightarrow }j\cdot \frac{(-1)(-a)(-j)\exp (-j\omega )}{{\left[1-a\exp (-j\omega )\right]}^2}=\frac{a\exp (-j\omega )}{{\left[1-a\exp (-j\omega )\right]}^2}$$

再利用时域平移性质, 也就有

$$(n+1)a^{n}u[n+1]\stackrel{F}{\leftrightarrow }\frac{1}{{\left[1-a\exp (-j\omega )\right]}^2}$$

这里左边由于$(n+1)$项的存在, 所以$u[n+1]$和$u[n]$没有区别, 因此这等价于

$$(n+1)a^{n}u[n]\stackrel{F}{\leftrightarrow }\frac{1}{{\left[1-a\exp (-j\omega )\right]}^2}$$

对于冲激方波-采样函数变换对, 从采样函数变过去是和CTFT一样的

$$\frac{\sin Wn}{\pi n},0<W<\pi \to X(\omega )=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le \left|\omega \right|\le W\\ 0,& W<\left|\omega \right|\le \pi \end{array}$$

只需要注意这里$\omega$的取值范围在$[-\pi ,\pi ]$. 但是反过来就有一些变换

$$x[n]=\{\begin{array}{ll}1,& \left|n\right|\le N_1\\ 0,& \left|n\right|>N_1\end{array}\to X(\omega )=\frac{\sin \left[\omega \left(N_1+\frac{1}{2}\right)\right]}{\sin (\omega /2)}$$

这和CTFT中的样子$\frac{2\sin (\omega T)}{\omega }$有些不同, 一方面是分子多了一个$\frac{1}{2}$的偏置, 另一方面是原来的系数$2$移动到了分母的$\sin$里面.

Laplace 变换

定义

$$X(s)\triangleq {\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-st}\mathrm{d}t$$

变换性质

当$s=j\omega$时, Laplace变换退化为Fourier变换.

需要额外提及一下线性

$$ax(t)+by(t)\to aX(s)+bY(s)$$

Tip

需要注意右边的收敛域至少是$R_1\cap R_2$. 这里$R_1$是$X(s)$的收敛域, $R_2$是$Y(s)$的收敛域.

时域平移

$$x(t-t_0)\to \exp (-s{t}_0)X(s).$$

因为这里右边$X(s)$中的$s$没动, 而$\exp (-s{t}_0)$不影响$s$的收敛域, 故新的收敛域和老的是一样的.

$s$-域平移

$$x(t)\exp (s_{0}t)\to X(s-s_0)$$

如果老的收敛域是$s\in R$, 那么新的收敛域就是$s-s_0\in R$.

时域缩放, 和CTFT一样

$$x(at)\to \frac{1}{\left|a\right|}X\left(\frac{s}{a}\right)$$

新的收敛域满足$\frac{s}{a}\in R$.

共轭性质

$$x^{\ast }(t)\to X^{\ast }(s^{\ast })$$

注意这里$s$也要取共轭复数, 且收敛域还是$R$.

时域卷积也和CTFT一样

$$x(t)\ast y(t)\to X(s)Y(s)$$

这里新的收敛域也至少是$R_1\cap R_2$.

对于频域卷积, 需要注意多了一个$\frac{1}{j}$因子

$$x(t)y(t)\to \frac{1}{2\pi j}X(s)\ast Y(s)$$

对于时域微分, 和CTFT也是一样的, 只不过$j\omega$变成了$s$

$$x^{\prime }(t)\to sX(s)$$

新的收敛域至少是$R$.

对于$s$-域微分, 和CTFT有所不同

$$t{x}^{\prime }(t)\to -X^{\prime }(s)$$

CTFT右边是乘上一个$j$因子, 而这里是乘上$-1$. 新的收敛域还是$R$.

对于时域积分, 就是时域微分相反的操作

$${\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm{d}\tau \to \frac{1}{s}X(s)$$

新的收敛域至少是$R\cap \left\{s\mid \mathcal{R}e(s)>0\right\}$. 这里的$\left\{\mathcal{R}e(s)>0\right\}$是保证了$\frac{1}{s}$的收敛性 ($u(t)$的Laplace变换就是$\frac{1}{s}$).

零-极点图

如果我们计算出来的$X(s)$可以写成有理分式的形式, 那么其分母的零点被称为极点, 分子的零点被称为零点.

系统的收敛域只能是左边平面$\mathcal{R}e(s)<{\sigma }_1$, 右边平面$\mathcal{R}e(s)>{\sigma }_2$或者中间带状平面${\sigma }_1<\mathcal{R}e(s)<{\sigma }_2$中的一种, 收敛域中不能包含极点.

Note

一般而言, 一个系统是稳定的当且仅当它的收敛域包含虚轴. 特别地, 一个因果系统(i.e. 它的收敛域是一个右边平面, 也就是最右边极点的右边平面)是稳定的当且仅当它的所有极点都在虚轴的左边.

如果一个系统是反因果的, 那么它的收敛域是左边平面. 非因果系统的ROC包含左边平面和带状平面.

Tip

如果$x(t)$是有限持续期, 并且是绝对可积的, 那么它的收敛域就是整个$s$平面.

特殊函数的Laplace变换

Delta函数

$$\delta (t)\to 1,s\in \mathbb{C}$$

单位阶跃函数

$$u(t)\to \frac{1}{s},\mathcal{R}e(s)>0$$

利用$s$-域微分性质

$$tu(t)\to \frac{1}{s^2},\mathcal{R}e(s)>0$$

指数函数和CTFT一样, 就是把$j\omega$换成了$s$

$$\exp (-at)u(t)\to \frac{1}{s+a},\mathcal{R}e(s)>-a$$

再利用$s$-域微分性质

$$t\exp (-at)u(t)\to \frac{1}{(s+a{)}^2},\mathcal{R}e(s)>-a$$

对于三角函数, 考虑利用Euler公式和指数函数的Laplace变换

$$\cos (\omega t)+j\sin (\omega t)=\exp (j\omega t)\to \frac{1}{s-j\omega }=\frac{s+j\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

由此可知

$$\cos (\omega t)\to \frac{s}{s^2+{\omega }^2},\sin (\omega t)\to \frac{\omega }{s^2+{\omega }^2},\mathcal{R}e(s)>0$$

再利用频域平移的性质

$$\cos (\omega t)\exp (-at)\to \frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }^2},\sin (\omega t)\exp (-at)\to \frac{\omega }{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$$

对应的收敛域是$\mathcal{R}e(s)>a$

如何计算Laplace变换

例1: 计算$\exp (-5t)\sin (5t)u(t)$的Laplace变换

首先查表得$\mathcal{L}\left\{\sin (5t)\right\}=\frac{5}{s^2+25}$, 再利用频域平移性质$\mathcal{L}\left\{\exp (-s_{0}t)f(t)\right\}=\mathcal{F}(s+s_0)$, 于是

$$\mathcal{L}\left\{\exp (-5t)\sin (5t)u(t)\right\}=\frac{5}{(s+5{)}^2+25}$$

同时我们不要忘记讨论收敛域. $\sin (5t)$的收敛域是整个$s$平面, $u(t)$的收敛域为$\sigma >0$, 经过平移之后变成$\sigma +5>0⟺\sigma >-5$.

例2: $x(t)=t\exp (-2\left|t\right|)$

首先我们知道

$$\exp (-2t)u(t)\to \frac{1}{2+s},\sigma >-2;\exp (2t)u(-t)\to \frac{1}{2-s},\sigma <2$$

于是就有

$$\exp (-2\left|t\right|)\to \frac{1}{s+2}-\frac{1}{s-2},-2<\sigma <2$$

再利用$s$域的微分性质就有

$$t\exp (-2\left|t\right|)\to -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{s+2}-\frac{1}{s-2}\right)=\frac{1}{(s+2{)}^2}-\frac{1}{(s-2{)}^2},-2<\sigma <2$$

例3: $x(t)=\left|t\right|\exp (-2\left|t\right|)$

类似地, 我们需要先求得$t\exp (-2t)u(t)$和$-t\exp (2t)u(-t)$, 根据上面一道题的情况, 利用$s$域的微分性质

$$t\exp (-2t)u(t)\to -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{2+s}\right)=\frac{1}{(2+s{)}^2},\sigma >-2$$

和

$$-t\exp (2t)u(-t)\to \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{2-s}\right)=\frac{1}{(s-2{)}^2},\sigma <2$$

从而就有

$$\left|t\right|\exp (-2\left|t\right|)=\frac{1}{(2+s{)}^2}+\frac{1}{(s-2{)}^2},-2<\sigma <2$$

例4: $x(t)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le t\le 1;\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

由于$x(t)=u(t)-u(t-1)$, 已知$u(t)\to \frac{1}{s},\sigma >0$, 再根据时域的频移性质, $u(t-1)\to \frac{\exp (-s)}{s},\sigma >0$, 所以

$$x(t)\to \frac{1}{s}-\frac{\exp (-s)}{s},\boxed{\text{all}s\text{plane}}$$

Tip

1. 时域平移不改变收敛域, 但是$s$-域平移则会改变
2. 两个收敛域分别为$R_1$和$R_2$的变换的和的收敛域至少为$R_1\cap R_2$

例5: $x(t)=\{\begin{array}{ll}t,& 0\le t\le 1;\\ 2-t,& 1<t\le 2.\end{array}$

考虑

$$x_1(t)=t\left[u(t)-u(t-1)\right]=\{\begin{array}{ll}t,& 0\le t\le 1;\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$$

从而我们有$x(t)=x_1(t)+x_1(2-t)$. 由于

$$t\left[u(t)-u(t-1)\right]\to -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{s}-\frac{\exp (-s)}{s}\right)=\frac{1-\exp (-s)-s\exp (-s)}{s^2},s\in \mathbb{C}$$

利用时域缩放性质

$$x_1(-t)\to \frac{1-\exp (s)+s\exp (s)}{s^2},s\in \mathbb{C}$$

再利用时域平移

$$x_1(2-t)\to \exp (-2s)\frac{1-\exp (s)+s\exp (s)}{s^2},s\in \mathbb{C}$$

于是

$$x(t)\to \frac{1+\exp (-2s)-2\exp (-s)}{s^2}=\frac{{\left[1-\exp (-s)\right]}^2}{s^2},s\in \mathbb{C}$$

例6: $\mathcal{X}(s)=\frac{s}{s^2+9},\sigma <0$

已知$\cos (3t)u(t)\to \frac{s}{s^2+9},\sigma >0$, 从而根据时域缩放性质

$$\cos (-3t)u(-t)\to \frac{1}{\left|-1\right|}\frac{-s}{s^2+9},\sigma <0$$

从而原时域函数为$-\cos (3t)u(-t)$

例7: $\mathcal{X}(s)=\frac{(s+1{)}^2}{s^2-s+1},\sigma >\frac{1}{2}$.

由于

$$\begin{array}{rl}\frac{(s+1{)}^2}{s^2-s+1}& =1+\frac{3s}{s^2-s+1}\\ & =1+\frac{3s}{(s-1/2{)}^2+(\sqrt{3}/2{)}^2}\\ & =1+3\frac{s-1/2}{(s-1/2{)}^2+(\sqrt{3}/2{)}^2}+\frac{3/2}{(s-1/2{)}^2+(\sqrt{3}/2{)}^2}\end{array}$$

所以有

$$x(t)=\delta (t)+3\exp (t/2)\cos (\sqrt{3}/2t)u(t)+\sqrt{3}\exp (t/2)\sin (\sqrt{3}/2t)u(t)$$

例8: $\mathcal{X}(s)=1-\frac{3s}{(s+1{)}^2}$

我们知道

$$\exp (-t)u(t)\to \frac{1}{s+1},\sigma >-1$$

利用$s$-域微分性质

$$t\exp (-t)u(t)\to \frac{1}{(s+1{)}^2},\sigma >-1$$

再利用时域微分性质

$$(t-1)\exp (-t)u(t)\to \frac{s}{(s+1{)}^2},\sigma >-1$$

从而就有

$$x(t)=\delta (t)-3(t-1)\exp (-t)u(t)$$

Laplace 变换的应用

例1: 一个单位冲激响应为$h(t)$的因果LTI系统有下列性质

1. 当系统的输入对于所有的$t$有$x(t)=\exp (2t)$时, 输出对于所有的$t$是$y(t)=\exp (2t)/6$.
2. 单位冲激响应$h(t)$满足下列微分方程 $\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}+2h(t)=\exp (-4t)u(t)+bu(t)$ 其中$b$是一个未知常数, 确定该系统函数$H(s)$.

对2中的微分方程两边求Laplace变换

$$sH(s)+2H(s)=\frac{1}{s+4}+\frac{b}{s}$$

对于如何利用1中的条件, 采用两种办法

i. 利用Laplace变换后的s域性质: 分别求$x(t),y(t)$的Laplace变换

$$X(s)=\frac{1}{s-2},Y(s)=\frac{1}{6(s-2)}$$

于是有

$$H(s)=Y(s)/X(s)=\frac{1}{6}$$

Warning

这种办法的问题是, 只有我们使用单边Laplace变换的时候$X(s)$, $Y(s)$才存在, 但是在单边Laplace变换中卷积性质成立要求信号都是因果的, 而这里虽然$h(t)$是因果信号(因为系统是因果的), 但是$x(t)$不是, 所以不能使用卷积性质

ii. 利用特征函数: $x(t)=\exp (s_{0}t)$是LTI系统的特征函数, 其特征值满足

$$y(t)=H(s_0)x(t)=H(s_0)\exp (s_{0}t)$$

这里$s_0=2$, 所以就有$H(2)=\frac{y(t)}{x(t)}=\frac{1}{6}$.

于是就有

$$2H(2)+2H(2)=\frac{1}{2+4}+\frac{b}{2}⟹b=1$$

从而$H(s)=\frac{1}{s+2}\left(\frac{1}{s+4}+\frac{1}{s}\right)=\frac{2}{s(s+4)}$

单边Laplace变换

不同之处: 时域微分性质

如果一个函数 $f(t)$ 的单边Laplace变换定义为 $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$, 那么 $f(t)$ 的一阶导数 $f^{\prime }(t)$ 的拉普拉斯变换为:

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0^{-})$$

其中, $f(0^{-})$ 是函数 $f(t)$ 在 $t=0$ 处的左极限值.

类似地有

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{f^{\prime \prime }(t)\}& =s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f^{\prime }(0^{-})\\ \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}& =s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-s^{n-2}{f}^{\prime }(0^{-})-\cdots -s{f}^{(n-2)}(0^{-})-f^{(n-1)}(0^{-})\end{array}$$

Z变换

定义

Z变换的定义

Z变换的定义是基于序列$x[n]$和基函数$z^{-n}$ 的：

$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$$

这里, $z=r{e}^{j\omega }$

特征函数

对于离散LTI系统, 如果输入是$x[n]=z_0^n$, 那么输出就是$y[n]=H(z_0)z_0^n$

零-极点图

记得令$\boxed{z=\frac{1}{s}}$. 然后按照Laplace变换的方法处理, 记得最后再把$s$变回$z$.

比如说如果差分方程

$$y[n]-\frac{7}{12}y[n-1]+\frac{1}{12}y[n-2]=x[n]+x[n-1]$$

对应的转移函数是

$$H(z)=\frac{1+\frac{1}{z}}{1-\frac{7}{12}\frac{1}{z}+\frac{1}{12}\frac{1}{z^2}}$$

令$s=\frac{1}{z}$就有

$$H(s)=\frac{12(1+s)}{12-7s+s^2}=\frac{12(s+1)}{(s-3)(s-4)}$$

对应的极点就是$s=3⟹z=\frac{1}{3}$和$s=4⟹z=\frac{1}{4}$.

对应的零点就是$s=-1⟹z=-1$.

Tip

这里$H(s)$对应的原单位脉冲响应为 $H(s)=\frac{48}{3-s}-\frac{60}{4-s}⟹H(z)=\frac{16}{1-\frac{1}{3z}}-\frac{15}{1-\frac{1}{4z}}$ 所以有 $h[n]=\left[16{\left(\frac{1}{3}\right)}^n-15{\left(\frac{1}{4}\right)}^n\right]u[n]$

Z-Transform Properties

Property	Signal	Transform	ROC
Linear	$a{x}_1[n]+b{x}_2[n]$	$a{X}_1(z)+b{X}_2(z)$	At least $R_1\cap R_2$
Time shift	$x[n-n_0]$	$z^{-n_0}X(z)$	$R$ (except possibly $z=0$ or $z=\infty$)
$z$-plane shift	$a^{n}x[n]$	$X\left(\frac{z}{a}\right)$	Scaled version of $R$. i.e. $z\in R^{\prime }⟺\frac{z}{a}\in R$
Time scale	$x[an]$	$X(z^{1/a})$	$z^{1/a}\in R⟺z\in R^{\prime }$
Conjunction	$x^{\ast }[n]$	$X^{\ast }(z^{\ast })$	$R$
Convolution	$x_1[n]\ast x_2[n]$	$X_1(z)X_2(z)$	At least $R_1\cap R_2$
Time differentiate	$nx[n]$	$-z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}X(z)$	$R$
$z$-plane differentiate	$nx[n]$	$-z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}X(z)$	$R$

Examples

Time-Domain Function $f[n]$	Z-Transform $X(z)$	ROC
$\delta [n]$	$1$	All $z$-plane
$u[n]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$	z	> 1$
$a^{n}u[n]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$	z	>	a	$
$n{a}^{n}u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$	z	>	a	$
$n^2{a}^{n}u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}(1+a{z}^{-1})}{(1-a{z}^{-1}{)}^3}$	$	z	>	a	$
$\sin (\omega n)u[n]$	$\frac{z^{-1}\sin (\omega )}{1-2z^{-1}\cos (\omega )+z^{-2}}$	$	z	> 1$
$\cos (\omega n)u[n]$	$\frac{1-z^{-1}\cos (\omega )}{1-2z^{-1}\cos (\omega )+z^{-2}}$	$	z	> 1$
$a^n\sin (\omega n)u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}\sin (\omega )}{1-2a{z}^{-1}\cos (\omega )+a^2{z}^{-2}}$	$	z	>	a	$
$a^n\cos (\omega n)u[n]$	$\frac{1-a{z}^{-1}\cos (\omega )}{1-2a{z}^{-1}\cos (\omega )+a^2{z}^{-2}}$	$	z	>	a	$
$u[n]-u[n-N]$	$\frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}$	$	z	> 0$
$nu[n]$	$\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$	$	z	> 1$
$n^{2}u[n]$	$\frac{z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}$	$	z	> 1$

群延迟

线性与非线性相移

当系统的相移是$\omega$的线性函数时, 例如

$$H(\omega )=\exp (-j\omega n_0)⟹\arg H(\omega )=-n_0\omega$$

这种相移在时域中表现为时间移位. 这不会改变输入信号的形状.

然而, 如果系统的相移是非线性的, 它可能会显著改变输入信号, 这种变化不易预测, 我们称这种现象为失真.

群延迟

为了分析非线性情况下的时间移位特性, 我们考虑在$({\omega }_0-\mathrm{d}\omega ,{\omega }_0+\mathrm{d}\omega )$附近的一个非常窄的频率区间, 其中我们可以用$\omega$的线性函数来近似实际的相移

$$\arg H(\omega )\approx -\varphi -\alpha \omega$$

在这种情况下, 我们有

$$Y(\omega )\approx X(\omega )\left|H(\omega )\right|\exp (-j\varphi )\exp (-j\omega \alpha )$$

其中相移项$\exp (-j\omega \alpha )$称为系统在$\omega ={\omega }_0$处的群延迟, 因为在时域中这一项可以表示一个时间延迟$\Delta t=\alpha$, 我们可以通过以下公式得到群延迟

$$\boxed{\tau (\omega )=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega }\left[\arg H(\omega )\right]}$$

Tip

群延迟就是$H(\omega )$的相位的Taylor展开的一阶系数.

采样定理

两个信号做乘积, 它们的频率宽度分别为${\left|{\omega }_1\right|}_{\max }=a,{\left|{\omega }_2\right|}_{\min }=b$, 对应的频谱做卷积, 新的信号的频率宽度将变成${\left|{\omega }_3\right|}_{\max }=a+b$.