Stability and Steady-State Error

稳定性的基本概念

定义

任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态, 产生初始偏差. 稳定性是指系统在扰动消失后, 由初始偏差恢复到原平衡状态的性能

系统所受的作用力达到平衡, 使系统处于稳定(不运动)时的状态, 称为 平衡状态

系统的稳定性

不论扰动引起的初始偏差有多大, 当扰动取消后, 系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态, 则这种系统称为 大范围稳定的系统; 如果系统受到有界扰动, 只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时, 系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态, 否则就不能恢复到初始平衡状态, 则称为 小范围稳定的系统.

如果系统受到有界扰动, 不论扰动引起的初始偏差有多小, 当扰动取消后, 无论经过多长时间, 系统都不可能恢复到初始平衡状态, 则这种系统称为 不稳定的系统

对于 线性系统 , 如果稳定必然在大范围内和小范围内都稳定; 对于 非线性系统 , 可能小范围稳定而大范围不稳定

线性系统的稳定性

若线性控制系统在初始扰动 $\delta (t)$ 的影响下, 其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零, 则成系统为稳定 (渐近稳定).

线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征 (结构, 参数), 与系统的输入信号无关

线性系统稳定的充要条件: 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部, 或者说, 闭环传递函数的极点均位于$s$左半平面 (不包括虚轴)

如果时间趋于无穷时, 线性定常系统的阶跃响应函数趋于某一个常数, 则该线性定常系统稳定

劳斯稳定判据

Vieta 定理 (必要条件)

设线性系统闭环特征方程为

$$D(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n=0(a_0\ne 0)$$

则系统特征根都具有负实部, 即线性系统稳定的必要条件是 闭环特征方程各项系数同号且不缺项, 即

$$a_i{a}_j>0,(i,j=0,1,\dots ,n)$$

特别地, 当 $a_0>0$ 时, 所有系数均大于零. 这是Vieta定理的一个自然结果

Routh 稳定条件 (充要条件)

Routh 表

我们需要构造 Routh 表, Routh表的结构如下：

$s^n$	$a_n$	$a_{n-2}$	$a_{n-4}$	$\cdots$
$s^{n-1}$	$a_{n-1}$	$a_{n-3}$	$a_{n-5}$	$\cdots$
$s^{n-2}$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$\cdots$
$s^{n-3}$	$c_1$	$c_2$	$\cdots$
$⋮$	$⋮$
$s^0$	$\text{常数项}$
其中：

• 前两行直接由特征方程系数填充.
• 后续行通过前两行计算, 公式为：

$$b_1=\frac{a_{n-1}{a}_{n-2}-a_n{a}_{n-3}}{a_{n-1}},b_2=\frac{a_{n-1}{a}_{n-4}-a_n{a}_{n-5}}{a_{n-1}},\dots$$

和

$$c_1=\frac{b_1{a}_{n-3}-a_{n-1}{b}_2}{b_1},c_2=\frac{b_1{a}_{n-5}-a_{n-1}{b}_3}{b_1},\dots$$

也就是一个负行列式除以一个数.

稳定性判据

根据Routh表, 我们给出如下的稳定性判据

• 系统稳定: 当且仅当Routh表第一列所有元素无符号变化 (即全为正数). 第一列元素符号变化的次数代表系统在 $s$ 右半的特征根数.
• 系统不稳定: 若第一列出现负数或零 (符号变化次数=右半平面极点个数)

特殊情况处理

1. 某行首项为零 (但其余项非零): 用一个小正数$ϵ$代替零, 继续计算后续行, 最后令$ϵ\to 0^{+}$判断符号变化.
2. 某行全为零: 表明存在对称根 (如纯虚根或对称实根, 或者两对关于原点对称的共轭复根) , 需用上一行的系数构造辅助多项式，对其求导后继续填表.

示例

考虑特征方程 $s^3+3s^2+3s+1+K=0$ ($K$为增益) , 列出Routh表：

$s^3$	$1$	$3$
$s^2$	$3$	$1+K$
$s^1$	$\frac{8-K}{3}$	$0$
$s^0$	$1+K$

这时候的稳定性条件要求第一列全为正, 也就是 $3>0$, $\frac{8-K}{3}>0$, $1+K>0$, 由此我们解得$-1<K<8$时系统稳定.

---

给定系统的特征方程：

$$s^5+2s^4+3s^3+6s^2+2s+4=0$$

初始Routh表前两行由特征方程系数填充:

$s^5$	$1$	$3$	$2$
$s^4$	$2$	$6$	$4$
$s^3$	$b_1$	$b_2$
$s^2$	$c_1$	$c_2$
$s^1$	$d_1$
$s^0$	$e_1$

计算$s^3$行:

$$b_1=\frac{2\times 3-1\times 6}{2}=0,b_2=\frac{2\times 2-1\times 4}{2}=0$$

此时$s^3$行全为零, 需处理:

1. 找到最后一行非零行：$s^4$行（$2,6,4$).
2. 构造辅助多项式: 由$s^4$行系数组成

$$P(s)=2s^4+6s^2+4$$

3. 对$P(s)$求导：

$$\frac{\mathrm{d}P(s)}{\mathrm{d}s}=8s^3+12s$$

将$s^3$行替换为导数的系数:

$s^5$	$1$	$3$	$2$
$s^4$	$2$	$6$	$4$
$s^3$	$8$	$12$
$s^2$	$c_1$	$c_2$
$s^1$	$d_1$
$s^0$	$e_1$

计算$s^2$行:

$$c_1=\frac{8\times 6-2\times 12}{8}=3,c_2=\frac{8\times 4-2\times 0}{8}=4$$

计算$s^1$行:

$$d_1=\frac{3\times 12-8\times 4}{3}=\frac{4}{3}$$

计算$s^0$行:

$$e_1=\frac{\frac{4}{3}\times 4-3\times 0}{\frac{4}{3}}=4$$

完整Routh表：

$s^5$	$1$	$3$	$2$
$s^4$	$2$	$6$	$4$
$s^3$	$8$	$12$
$s^2$	$3$	$4$
$s^1$	$\frac{4}{3}$
$s^0$	$4$
可以看到第一列无符号变化, 系统临界稳定. 继续分析辅助多项式$P(s)=2s^4+6s^2+4=0$的根:

1. 令$u=s^2$, 得$2u^2+6u+4=0$.
2. 解得$u=-1$或$u=-2$, 即$s=\pm j$或$s=\pm j\sqrt{2}$.

这说明系统有一对纯虚根$\pm j$和$\pm j\sqrt{2}$, 处于稳定边界 (持续振荡)

劳斯判据的推广

实际的系统希望 $s$ 左半平面上的根距离虚轴有一定的距离, 因为这种系统在系统参数发生一定变化的时候仍然能够保持稳定. 这被称为系统的 稳定裕度

这时候我们可以做变量替换 $s=s_1-a$, 代入原来的特征方程 $D(s)=0$ 得到新的特征方程 $D_1(s_1)=0$. 然后对新的特征方程应用劳斯判据.

这时候, 劳斯表第一列符号变换的次数就是特征根在 $a$ 右侧的个数.

劳斯判据的应用

确定系统参数的稳定范围

• 将含参数 (如 K) 的特征方程列出劳斯表.
• 根据稳定性条件 (第一列元素全为正) , 建立关于参数的不等式组.
• 求解不等式组, 得到参数的稳定范围.
• 示例: 特征方程 $s^3+3s^2+2s+K=0$ . 劳斯表第一列 $1,3,(6-K)/3,K$. 稳定条件: $3>0,(6-K)/3>0,K>0$. 解得 $0<K<6$.

求解临界稳定时的参数值和纯虚根

• 令劳斯表 $s^1$ 行的元素等于 0, 解出临界参数值 $K_0$ .

求解具有对称根时的参数和根

• 若已知系统存在对称于原点的根, 则劳斯表中必然出现全零行.
• 根据全零行条件 (可通过计算表达式使其分子分母同时为零, 或直接假设某行为全零) , 反求参数 $K$.
• 利用全零行的上一行构造辅助多项式 $A(s)$, 解 $A(s)=0$ 得到对称根.
• 可通过多项式除法求剩余的根.
• 示例: $D(s)=s^5+s^4+K{s}^3+2s^2+s+1=0$ . 假设 $s^1$ 行为全零. 其计算依赖 $s^3$ 和 $s^2$ 行. 可推导出 $K=2$ 时 $s^1$ 行会是全零. 此时 $s^2$ 行辅助多项式 $A(s)=s^4+2s^2+1=(s^2+1{)}^2=0$ . 解得 $s=\pm j$ (二重根). 长除法 $(s^5+s^4+2s^3+2s^2+s+1)/(s^4+2s^2+1)=s+1$ . 所以还有一个根 $s=-1$ . 总根: $-1$, $\pm j$ , $\pm j$ .

稳态误差

误差的定义

系统输入端误差 $E(s)$

输入信号 $R(s)$ 与反馈信号 $B(s)$ 之差. $E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)$ . 这是分析中最用的误差定义.

系统输出端误差 (广义误差) $E^{\ast }(s)$

系统期望输出 $C^{\ast }(s)$ 与实际输出 $C(s)$ 之差. $E^{\ast }(s)=C^{\ast }(s)-C(s)$ .

关系:

• 对于单位反馈系统 ($H(s)=1$), 我们有 $E^{\ast }(s)=R(s)-C(s)=E(s)$ . 两者一致.
• 对于非单位反馈系统, $E^{\ast }(s)=E(s)/H(s)$ 这里 $H(s)$ 是 反馈通路 的传递函数

稳态误差 $e_{ss}$

误差信号 $e(t)=L^{-1}[E(s)]$ 通常包含 动态分量 $e_{ts}(t)$ 和 稳态分量 $e_{ss}(t)$.

• 对于稳定系统, $t\to \infty$ 时, 动态分量 $e_{ts}(t)\to 0$ .
• 稳态误差 $e_{ss}$ 定义为误差信号的稳态分量: $e_{ss}={\lim }_{t\to \infty }e(t)$ .

计算方法: 终值定理

一般来说, 系统误差的Laplace变换为

$$E(s)={\Phi }_e(s)R(s)=\frac{1}{1+G_k(s)}R(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}R(s)$$

我们可以通过终值定理计算系统的稳态误差

$$e_{ss}=\underset{t\to \infty }{\lim }e(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)$$

应用终值定理的前提是 ${\lim }_{t\to \infty }e(t)$ 必须存在, 即:

• 系统必须是稳定的.
• 函数 $sE(s)$ 的所有极点必须位于 s 左半平面 (或者说, $E(s)$ 的极点除了允许在原点有一个单极点外, 其余必须在左半平面).

Warning

使用终值定理和下面的稳态误差的结论以前一定要先确定系统是否是稳定的

Tip

当输入为正弦信号 $sin(\omega t)$ 时, 误差信号 $e(t)$ 的稳态分量也是同频率正弦信号, 其极限不存在, 不能直接用终值定理求幅值. 需要先求出 $E(s)$, 反变换得到 $e(t)$, 取其稳态项 $e_{ss}(t)$ .

系统类型

定义: 根据系统开环传递函数 $G_k(s)\equiv G(s)H(s)$ 在 $s=0$ 处 (原点) 极点的重数 $v$ 来定义.

$$G_k(s)=K\times \left[\prod ({\tau }_{j}s+1)\right]/\left[s^v\times \prod (T_{i}s+1)\right]$$

分类:

• $v=0$: 0 型系统 (无积分环节)
• $v=1$: I 型系统 (含一个积分环节)
• $v=2$: II 型系统 (含两个积分环节)
• ... 以此类推. 物理意义: $v$ 代表开环传递函数中积分环节的个数. 积分环节越多, 系统抑制低频误差的能力越强.

Warning

这里的 型数 不是分母多项的次数 (也就是 阶数), 必须要写成上面 $G_k(s)$ 的形式来判断!

典型输入信号作用下的稳态误差

阶跃输入 $r(t)=A\times 1(t),R(s)=A/s$

我们有

$$e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s\times [1/(1+G_k(s))]\times (A/s)=A/[1+\underset{s\to 0}{\lim }{G}_k(s)]$$

• 定义 静态位置误差系数 $K_p$ : $K_p={\lim }_{s\to 0}{G}_k(s)$
• 稳态误差 $e_{ss}=A/(1+K_p)$
• 不同类型系统:
  • $0$ 型系统 ($v=0$): $K_p=K$ (开环增益), $e_{ss}=A/(1+K)\ne 0$ (有差)
  • I 型及以上系统 $(v\ge 1)$: $K_p=\infty$ , $e_{ss}=0$ (无差)

斜坡输入 $r(t)=Bt\times 1(t),R(s)=B/s^2$

我们有

$$e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s\times \frac{1}{1+G_k(s)}\times \frac{B}{s^2}=\frac{B}{{\lim }_{s\to 0}s{G}_k(s)}$$

• 定义 静态速度误差系数 $K_v={\lim }_{s\to 0}s{G}_k(s)$
• 稳态误差 $e_{ss}=B/K_v$

• 不同类型系统:
  • $0$ 型系统 ($v=0$): $K_v=0$ , $e_{ss}=\infty$ (无法跟踪)
  • I 型系统 ($v=1$): $K_v=K$ , $e_{ss}=B/K\ne 0$ (有差)
  • II 型及以上系统 ($v\ge 2$): $K_v=\infty$ , $e_{ss}=0$ (无差)

抛物线输入 $r(t)=C{t}^2/2\times 1(t),R(s)=C/s^3$

$$e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s\times \frac{1}{1+G_k(s)}\times \frac{C}{s^3}=\frac{C}{{\lim }_{s\to 0}{s}^2{G}_k(s)}$$

• 静态加速度误差系数 $K_a={\lim }_{s\to 0}{s}^2{G}_k(s)$
• 稳态误差: $e_{ss}=C/K_a$
• 不同类型系统:
  • $0$ 型、I 型系统 ($v=0,1$): $K_a=0$ , $e_{ss}=\infty$ (无法跟踪)
  • II 型系统 ($v=2$): $K_a=K$ , $e_{ss}=C/K\ne 0$ (有差)
  • III 型及以上系统 ($v\ge 3$): $K_a=\infty$ , $e_{ss}=0$ (无差)

总结

系统类型 ($v$)	输入 $r(t)$	$K_p$	$K_v$	$K_a$	$e_{ss}$
$0$	$A$	$K$	$0$	$0$	$A/(1+K)$
$0$	$Bt$	$K$	$0$	$0$	$\infty$
$0$	$C{t}^2/2$	$K$	$0$	$0$	$\infty$
I	$A$	$\infty$	$K$	$0$	$0$
I	$Bt$	$\infty$	$K$	$0$	$B/K$
I	$C{t}^2/2$	$\infty$	$K$	$0$	$\infty$
II	$A$	$\infty$	$\infty$	$K$	$0$
II	$Bt$	$\infty$	$\infty$	$K$	$0$
II	$C{t}^2/2$	$\infty$	$\infty$	$K$	$C/K$
...	...	...	...	...	...

Note

$v$ 型系统能无误差跟踪 $v-1$ 阶及以下的多项式输入. 对于 $v$ 阶输入有常值误差, 对于 $v+1$ 阶及以上输入误差为无穷

扰动作用下的稳态误差

                                         ↓扰动N(s)直接叠加于此点
输入 R(s) → [减法器] → E(s) → [G₁(s)] → (G₁E + N) → [G₂(s)] → Y(s) → [H(s)] → 反馈到减法器

假设我们在 $G_1(s)$ 和 $G_2(s)$ 直接引入扰动 $N(s)$.系统的误差由两部分组成

$$E(s)=E_r(s)+E_n(s)$$

其中 $E_r(s)$ 是由输入 $R(s)$ 引起的误差, $E_n$ 是由扰动 $N(s)$ 引起的误差.

扰动到误差的传递函数

$${\Phi }_{EN}(s)=\frac{E_n(s)}{N(s)}=-\frac{G_2(s)H(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$$

对应的扰动误差稳定值为

$$e_{ssn}=\underset{s\to 0}{\lim }s{E}_n(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_{EN}(s)N(s)$$

这里, $G_1(s)$ (前级传递函数) 比 $G_2(s)$ (后级传递函数) 更关键地影响着扰动 $N(s)$ 的稳态误差消除能力, 这是因为 $G_1(s)$ 通常包含积分环节或高增益, 其阶数决定了闭环系统对扰动的抑制能力. 具体来说:

1. $G_1(s)$ 的影响: 若 $G_1(s)$ 含积分环节 (如 $1/s$ ) , 则可提升系统的类型 (Type) , 使得扰动稳态误差趋近于零. 如PI控制器 $G_1(s)=K_p(1+\frac{1}{T_{i}s})$ 中的积分项能够消除阶跃扰动带来的误差.
2. $N(s)$ 的形式: 误差消除效果取决于扰动的阶次. 消除低阶 (如阶跃 $\frac{1}{s}$ ) 误差需要 $G_1(s)$ 含一阶积分 (I型系统及以上) , 高阶 (如斜坡 $\frac{1}{s^2}$ ) 则需更高阶积分环节 (II型系统及以上) .
3. $G_2(s)$ 的角色: 其结构 (如含惯性环节 $\frac{1}{Ts+1}$ ) 影响动态响应, 但对稳态误差的消除贡献不如 $G_1(s)$ 的决定性.

结论: $G_1(s)$ 的积分阶数必须至少与 $N(s)$ 的阶次匹配, 才能完全消除扰动引入的稳态误差.

减少稳态误差的方法

目标: 在保证系统稳定的前提下, 尽量减小或消除稳态误差.

基本方法总结

提高元件精度: 保证环节参数的准确性和稳定性, 特别是反馈环节.

增大开环增益 K:

• 对给定输入 R(s): 提高 $K_p$ , $K_v$ , $K_a$ , 减小 $e_{ss}$ (对0型、I型、II型对应的有差情况).
• 对扰动输入 N(s): 增大扰动点之前的 $G_1(s)$ 的增益 (如 $K_1$ ), 减小 $e_{ssn}$ .
• 缺点: K 过大会降低系统稳定性, 恶化动态性能.

增加开环积分环节数 (提高系统类型 v):

• 可以消除对应阶次及以下的给定输入的稳态误差.
• 可以消除对应扰动输入的稳态误差 (若积分环节在扰动点之前). * 缺点: 积分环节过多 (一般不超过2个) 会严重影响系统稳定性和动态性能.

采用前馈控制 (复合控制): 根据扰动或给定输入, 产生补偿信号, 直接作用于系统, 以抵消其影响.

采用串级控制: 引入局部反馈回路 (内回路) , 用于抑制内回路的扰动.

前馈控制

前馈控制的核心在于 "预知" 扰动或输入的影响, 并通过提前补偿来抵消这些影响. 与传统的反馈控制不同, 前馈控制不依赖输出误差, 而是直接针对扰动或输入信号进行处理.

干扰补偿

引入前馈补偿环节 $G_n(s)$ , 将扰动 $N(s)$ 的测量值处理后叠加到控制信号中. 理想情况下, 扰动对输出 $C(s)$ 的影响应完全抵消. 补偿条件来自于两条路径的抵消:

• 直接路径: $N(s)\to G_2(s)\to C(s)$
• 补偿路径: $N(s)\to G_n(s)G_1(s)G_2(s)\to C(s)$

所以最理想的补偿公式为 $G_n(s)=-1/G_1(s)$ , 但是有如下实际限制

• 理想补偿可能无法物理实现 (例如需要纯微分环节) .
• 若 $G_1(s)$ 模型不精确, 补偿效果会下降.
• 更实用的目标是消除或减小扰动引起的稳态误差. 例如, 即使物理不可实现的 $G_n(s)=-1/k_1$ 也能在理论上实现稳态全补偿 ( $e_{ssn}=0$ ) , 实际中常采用简化近似.

给定输入补偿

引入前馈环节 $G_r(s)$ , 将给定输入 $R(s)$ 处理后叠加到误差信号之后. 理想补偿条件为 $G_r(s)=1/G(s)$ , 使得误差 $E(s)$ 恒为零.

实际限制

• $G_r(s)$ 可能无法物理实现 (如 $G(s)$ 含延迟或高阶项) .
• 常用方法是针对特定输入 (如阶跃、斜坡) 设计补偿, 消除稳态误差. 例如, 为实现单位斜坡输入下的零稳态误差 ( $e_{ss}=0$ ) , 需保证 $sE(s)$ 在 $s\to 0$ 时为0, 可通过选择 $G_r(s)=3s+4$ 满足要求.

串级控制

将一个单回路系统分解为主回路 (外回路) 和副回路 (内回路) . 副回路通常包含系统中的主要扰动源, 例如执行机构的延迟或外部干扰. 我们使用 副调节器 $G_{c2}(s)$ 控制副回路, 快速响应内部扰动, 主调节器 $G_{c1}(s)$ 控制主回路, 其输出作为副调节器的设定值 (给定值) .