Time-Domain Analysis of First-order Circuits

电路响应

响应	RC 电路	RL 电路
零输入响应	$u_C=U_0\exp (-t/RC)$	$i_L=I_0\exp (-t/(L/R))$
零状态响应	$u_C=U_S\left[1-\exp \left(-\frac{t}{RC}\right)\right]$	$i_L=\frac{U_S}{R}\left[1-\exp \left(-\frac{t}{L/R}\right)\right]$
全响应响应	$u_C=U_S+(U_0-U_S)\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right),\tau =RC$	$i_L=\frac{U_S}{R}\left[1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)\right],\tau =\frac{L}{R}$

三要素法

$$f(t)=f(\infty )+\left[f(0_{+})-f(\infty )\right]\exp (-t/\tau )$$

阶跃响应

阶跃函数

$$\epsilon (t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ 1,& t>0\end{array}$$

可以用来

• 模拟开关的作用
• 起始一个函数$f(t)\epsilon (t-t_0)$
• 延迟一个函数$f(t)\epsilon (t+t_0)$

一阶电路的阶跃响应

当电路的激励为单位阶跃函数时, 相当于将电路再$t=0$时接通电压值为1V的直流电压源或者电流值为1A的直流电流源

e.g. 如果我们对一个RC电路在$t=0$时接通电源, 又在$t=\tau =RC$时又断开电源, 那么激励就是

$$u_S(t)=U_S\epsilon (t)-U_S\epsilon (t-\tau )$$

而单位阶跃响应为

$$s(t)=\left[1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)\right]\epsilon (t)$$

所以有响应

$$u_C(t)=U_S\left[1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)\right]\epsilon (t)-U_s\left[1-\exp \left(-\frac{t-\tau }{\tau }\right)\right]\epsilon (t-\tau )$$