补充技巧
分子有理化
常见的分子有理化是利用平方差公式去掉分母里的根号, 比如说
而当我们碰到要求以下极限的情形时
就可以利用立方和公式来对分子进行有理化, 于是我们有
考虑到, 于是便有
**注: ** 这个极限也可以用代替然后采用Taylor展开做.
极限
Stolz 公式
型
若数列是严格单调递增的无穷大量, 则有
型
若数列是严格单调递减的无穷大量, 是无穷小量, 则有
注意: 和L'Hôpital法则一样, 差分之比(导数之比)的极限不存在不能说明原来的数列之比(函数之比)不存在.
连续性
有界性定理
若函数在上连续, 则在上有界
最大最小值定理
若函数在上连续, 则在上最大值和最小值
Cantor 定理
若函数在闭区间上连续, 则它在上一致连续
Lipschitz 条件
若对函数, 存在常数使得
则称该区间上Lipschitz连续, 这是比一致连续更强的性质
很多时候可以直接加强命题, 通过Lipschitz条件来证明函数的一致连续性
导数
Darboux定理
若函数在上可导, 且, 为介于和之间的任一实数, 则至少存在一点使得
Darboux定理亦被称为导函数的介值定理
高阶导数
Leibniz公式
对于阶可导函数和, 有
注意: 如果和中出现了三角函数, 那么如果直接使用Leibniz公式计算的高阶导数得到了一个并不好化简的级数, 那么采取 "求导 - 辅助角公式化简 - 再求导" 的"找规律 + 数学归纳法"的方式可能是更好的选择
单调性
单调递增(递减)
也就是对有
只需要满足
严格单调递增(递减)
也就是对有
这种情况下需要满足的充要条件是
-
对
-
在的任何子区间上都有
其中(ii)也就是说在上只能取到有限次0
极值
极值点
若函数在点的某邻域内对一切有
则称函数在点取得极大(小)值, 称点为极大(小)值点.
Fermat定理(极值必要条件)
设函数在点的某邻域上有定义, 且在点处可导. 若点为的极值点, 则必有
极值第一充分条件
设函数在点连续, 在某邻域上可导
-
若当时, 当时, 则在点处取得极小值
-
若当时, 当时, 则在点处取得极大值
注意这里可以不存在, 只要其两边导数异号, 就可以是极值点
极值第二充分条件
设函数在某邻域上一阶可导, 在处二阶可导, 且,
-
若当, 则在点处取得极小值
-
若当, 则在点处取得极大值
极值第三充分条件
设在的某邻域内存在直到阶导函数, 并在处阶可导, 且, 则
-
当为偶数时, 在处取得极值, 且当时取极大值, 在时取极小值
-
当为奇数时, 在处不取极值
中值定理
Cauchy中值定理
设函数和满足:
-
在上都连续
-
在上都可导
-
和不同时为0
-
则存在使得
其中尤其应当注意条件(iii)
一般中值定理的证明方法
类似于Lagrange中值定理和Cauchy中值定理, 一般的中值定理基本都可以通过构造符合Rolle中值定理条件的方式来证明
比如说如果要证明这个中值定理: 函数在上连续,在上可导, 且, 那么存在使得
不妨把这个结论化成整式形式
考虑某一个函数满足
积分得
带入端点使得其符号Rolle中值定理条件
也就是说
现在便可直接利用Rolle中值定理证明这个中值定理了
凹凸性和拐点
凸函数的定义
设为定义在上的函数, 若对于上的任意两点和任意实数总有
则称是上的凸函数. 反之如果总有
则称是上的凹函数
如果上面两个式子中的不等号改为严格不等号, 则相应符合条件的函数称为严格凸函数和严格凹函数
凸函数定义的等价命题
是上凸函数的充要条件是, 对于上的任意三点, 总有
一阶可导前提下凸函数的等价条件
设为区间上的可导函数, 则下述论断互相等价:
-
为上的凸函数
-
为上的增函数
-
对上的任意两点有
其中第(iii)个条件的几何意义是: 曲线总是在它的任一切线的上方
二阶可导前提下凸函数的充要条件
设是区间的二阶可导函数, 则在上为凸函数的充要条件是
凸函数一定连续
设是区间上的凸函数, 则在上的任一点都存在左、右导数且连续
微分
误差估计
设某一个物理量的真实值为, 测量值为, 设测量的误差限为, 即
那么当很小的时候, 则测量误差限为
而测量的相对误差限为
不定积分
注意事项
分段函数的积分
定积分
定义(Riemann和)
在取一个分割, 它决定了一系列分割点和特征取值. 设
现在定义Riemann和 , 那么在上的定积分就被定义为
如果这个极限收敛, 那么这个定积分就存在
可积条件
必要条件
在上有界
充分条件1
在上连续 (暗示在这个闭区间上一致连续且有界)
充分条件2
在上有界, 且有有限个不连续点
充分条件3
在上的单调
充要条件
在上有界, 且所有不连续点构成的集合的测度为
Note: 若集合的测度是0, 那么对于, 可以找到一个由可数个区间构成的覆盖完全覆盖, 并且这些覆盖的总长度小于
可以利用长度分别为的区间来构造
定积分的性质
积分第一中值定理
若在上连续, 在上可积且不变号, 则至少存在一点, 使得
积分第二中值定理
若在上单调 , 在上可积, 则至少存在一点, 使得