23 Fall Analysis Notes

补充技巧

分子有理化

常见的分子有理化是利用平方差公式去掉分母里的根号，比如说

$\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

而当我们碰到要求以下极限的情形时

${\lim }_{x\to \infty }(\sqrt[3]{1-x^3}+x)$

就可以利用立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$来对分子进行有理化，于是我们有

$$\begin{array}{rl}\sqrt[3]{1-x^3}+x& =\frac{(\sqrt[3]{1-x^3}+x)((1-x^3{)}^{\frac{2}{3}}-(1-x^3{)}^{\frac{1}{3}}x+x^2)}{((1-x^3{)}^{\frac{2}{3}}-(1-x^3{)}^{\frac{1}{3}}x+x^2)}\\ & =\frac{1}{((1-x^3{)}^{\frac{2}{3}}+x(x^3-1{)}^{\frac{1}{3}}+x^2)}\end{array}$$

考虑到$(1-x^3{)}^{\frac{2}{3}}\ge 0$，于是便有

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt[3]{1-x^3}+x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{((1-x^3{)}^{\frac{2}{3}}+x(x^3-1{)}^{\frac{1}{3}}+x^2)}=0$$

注： 这个极限也可以用$\frac{1}{x}\to 0$代替$x\to \infty$然后采用Taylor展开做.

极限

Stolz 公式

$\frac{\ast }{\infty }$ 型

若数列$a_n$是严格单调递增的无穷大量，则有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=l⟹\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b_n}{a_n}=l$$

$\frac{0}{0}$型

若数列$a_n$是严格单调递减的无穷大量，$b_n$是无穷小量，则有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=l⟹\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b_n}{a_n}=l$$

注意: 和L'Hôpital法则一样，差分之比（导数之比）的极限不存在不能说明原来的数列之比（函数之比）不存在.

连续性

有界性定理

若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界

最大最小值定理

若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上最大值和最小值

Cantor 定理

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则它在$[a,b]$上一致连续

Lipschitz 条件

若对函数$f(x)$，存在常数$K$使得

$$|f(a)-f(b)|\le K|a-b|,\forall a,b\in I$$

则称$f(x)$该区间上Lipschitz连续，这是比一致连续更强的性质

很多时候可以直接加强命题，通过Lipschitz条件来证明函数的一致连续性

导数

Darboux定理

若函数$f$在$[a,b]$上可导， 且$f_{+}^{\prime }(a)\ne f_{-}^{\prime }(b)$，$k$为介于$f_{+}^{\prime }(a)$和$f_{-}^{\prime }(b)$之间的任一实数，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$使得 $f^{\prime }(\xi )=k$

Darboux定理亦被称为导函数的介值定理

高阶导数

Leibniz公式

对于$n$阶可导函数$u$和$v$，有

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

注意: 如果$u$和$v$中出现了三角函数，那么如果直接使用Leibniz公式计算$uv$的高阶导数得到了一个并不好化简的级数，那么采取 "求导 - 辅助角公式化简 - 再求导" 的"找规律 + 数学归纳法"的方式可能是更好的选择

单调性

单调递增（递减）

也就是对$\forall x_1,x_2\in I$有

$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\ge 0(\le 0)$$

只需要满足$\forall x\in I,f^{\prime }(x)\ge 0(\le 0)$

严格单调递增（递减）

也就是对$\forall x_1,x_2\in I$有

$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0(<0)$$

这种情况下需要满足的充要条件是

1. 对$\forall x\in I,f^{\prime }(x)\ge 0(\le 0)$

2. 在$(a,b)$的任何子区间上都有$f^{\prime }(x)\not\equiv 0$

其中（ii）也就是说$f^{\prime }(x)$在$(a,b)$上只能取到有限次0

极值

极值点

若函数$f$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内对一切$x\in U(x_0)$有

$$f(x_0)\ge f(x)(f(x_0)\le f(x))$$

则称函数$f$在点$x_0$取得极大（小）值，称点$x$为极大（小）值点.

Fermat定理（极值必要条件）

设函数$f$在点$x_0$的某邻域上有定义，且在点$x_0$处可导. 若点$x_0$为$f$的极值点，则必有

$$f^{\prime }(x_0)=0$$

极值第一充分条件

设函数$f$在点$x_0$连续，在某邻域$U^{\circ }(x_0;\delta )$上可导

1. 若当$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时$f^{\prime }(x)\le 0$，当$x\in (x_0,x_0+\delta )$时$f^{\prime }(x)\ge 0$，则$f$在点$x_0$处取得极小值

2. 若当$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时$f^{\prime }(x)\ge 0$，当$x\in (x_0,x_0+\delta )$时$f^{\prime }(x)\le 0$，则$f$在点$x_0$处取得极大值

注意这里$f^{\prime }(x_0)$可以不存在，只要其两边导数异号，$f(x_0)$就可以是极值点

极值第二充分条件

设函数$f$在某邻域$U^{\circ }(x_0;\delta )$上一阶可导，在$x=x_0$处二阶可导，且$f^{\prime }(x_0)=0$, $f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$

1. 若当$f^{\prime \prime }(x)<0$，则$f$在点$x_0$处取得极小值

2. 若当$f^{\prime \prime }(x)>0$，则$f$在点$x_0$处取得极大值

极值第三充分条件

设$f$在$x_0$的某邻域内存在直到$n-1$阶导函数，并在$x_0$处$n$阶可导，且$f^{(n)}(x_0)=0,(k=1,2,\cdots ,n-1),f^{(n)}\ne 0$，则

1. 当$n$为偶数时，$f$在$x_0$处取得极值，且当$f^{(n)}(x_0)<0$时取极大值，在$f^{(n)}(x_0)>0$时取极小值

2. 当$n$为奇数时，$f$在$x_0$处不取极值

中值定理

Cauchy中值定理

设函数$f$和$g$满足：

1. 在$[a,b]$上都连续

2. 在$(a,b)$上都可导

3. $f^{\prime }(x)$和$g^{\prime }(x)$不同时为0

4. $g(a)\ne g(b)$

则存在$\xi \in (a,b)$使得

$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}$$

其中尤其应当注意条件(iii)

一般中值定理的证明方法

类似于Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，一般的中值定理基本都可以通过构造符合Rolle中值定理条件的方式来证明

比如说如果要证明这个中值定理：函数$f,g$在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$上可导，且$g^{\prime }(x)\ne 0$，那么存在$\xi \in [a,b]$使得

$$\frac{f(\xi )-f(a)}{g(b)-g(\xi )}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

不妨把这个结论化成整式形式

$$f^{\prime }(\xi )g(\xi )+g^{\prime }(\xi )f(\xi )-g^{\prime }(\xi )f(a)-f^{\prime }(\xi )g(b)=0$$

考虑某一个函数$F$满足

$$F^{\prime }=(fg{)}^{\prime }-f(a)g^{\prime }-g(b)f^{\prime }$$

积分得

$$F=fg-f(a)g-g(b)f+C$$

带入端点使得其符号Rolle中值定理条件

$$F(a)=F(b)=-f(a)g(b)+C=0⟹C=f(a)g(b)$$

也就是说

$$F(x)=(f(x)-f(a))(g(x)-g(b))$$

现在便可直接利用Rolle中值定理证明这个中值定理了

凹凸性和拐点

凸函数的定义

设$f$为定义在$I$上的函数，若对于$I$上的任意两点$x_1,x_2$和任意实数$\lambda \in (0,1)$总有

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$

则称$f$是$I$上的凸函数. 反之如果总有

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\ge \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$

则称$f$是$I$上的凹函数

如果上面两个式子中的不等号改为严格不等号，则相应符合条件的函数称为严格凸函数和严格凹函数

凸函数定义的等价命题

$f$是$I$上凸函数的充要条件是，对于$I$上的任意三点$x_1<x_2<x_3$，总有

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_2}{x_3-x_2}$$

一阶可导前提下凸函数的等价条件

设$f$为区间$I$上的可导函数，则下述论断互相等价：

1. $f$为$I$上的凸函数

2. $f^{\prime }$为$I$上的增函数

3. 对$I$上的任意两点$x_1,x_2$有

$$f(x_2)\ge f(x_1)+f^{\prime }(x_1)(x_2-x_1)$$

其中第(iii)个条件的几何意义是：曲线$y=f(x)$总是在它的任一切线的上方

二阶可导前提下凸函数的充要条件

设$f$是区间$I$的二阶可导函数，则在$I$上$f$为凸函数的充要条件是

$$f^{\prime \prime }(x)\le 0,x\in I$$

凸函数一定连续

设$f$是区间$I$上的凸函数，则$f$在$I$上的任一点$x_0$都存在左、右导数且连续

微分

误差估计

设某一个物理量的真实值为$x$，测量值为$x_0$，设测量的误差限为${\delta }_x$，即

$$\left|\Delta x\right|=\left|x-x_0\right|\le {\delta }_x$$

那么当${\delta }_x$很小的时候，则测量误差限为

$$\left|\Delta y\right|=\left|f(x)-f(x_0)\right|\approx \left|f^{\prime }(x_0)\Delta x\right|\le \left|f^{\prime }(x_0)\right|{\delta }_x$$

而测量的相对误差限为

$$\frac{{\delta }_x}{\left|y_0\right|}=\left|\frac{f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}\right|{\delta }_x$$

不定积分

注意事项

分段函数的积分

定积分

定义（Riemann和）

在$[a,b]$取一个分割$(P,\xi )$，它决定了一系列分割点$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$和特征取值${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$. 设$\lambda (P)={\max }_{i=1}^n\Delta x_i$

现在定义Riemann和 $\sigma (f;P;\xi )={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_1)\Delta x_i$，那么$f(x)$在$[a,b]$上的定积分就被定义为

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\lambda (P)\to 0}{\lim }\sigma (f;P;\xi )$$

如果这个极限收敛，那么这个定积分就存在

可积条件

必要条件

$f(x)$在$[a,b]$上有界

充分条件1

$f(x)$在$[a,b]$上连续 （暗示$f(x)$在这个闭区间上一致连续且有界）

充分条件2

$f(x)$在$[a,b]$上有界，且有有限个不连续点

充分条件3

$f(x)$在$[a,b]$上的单调

充要条件

$f(x)$在$[a,b]$上有界，且所有不连续点构成的集合的测度为$0$

Note: 若集合$E\subset \mathbb{R}$的测度是0，那么对于$\forall \epsilon >0$，可以找到一个由可数个区间构成的覆盖完全覆盖$E$，并且这些覆盖的总长度小于$\epsilon$

可以利用长度分别为$\frac{\epsilon }{2},\frac{\epsilon }{4},\dots$的区间来构造

定积分的性质

积分第一中值定理

若$f$在$[a,b]$上连续，$g$在$[a,b]$上可积且不变号，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$，使得

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

积分第二中值定理

若$f$在$[a,b]$上单调 ，$g$在$[a,b]$上可积，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$，使得

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)=f(a){\int }_a^{\xi }g(x)\mathrm{d}x+f(b){\int }_{\xi }^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

变积分上限函数

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{g(x)}^{h(x)}f(t)\mathrm{d}t=f(h(x))h^{\prime }(x)-f(g(x))g^{\prime }(x)$$