Curve Integral

第一型曲线积分

设$\ell$是平面上可求长度的曲线段, $f(x,y)$为定义在$\ell$上的函数. 对曲线$\ell$作分割$T$, 它把$\ell$分成$n$个可求长度的小曲线段${\ell }_i$, 其弧长为$\Delta s_i$, 分割的细度为$\Vert T\Vert =\max \Delta s_i$, 在${\ell }_i$上取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$, 若有极限

$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i=J$$

且$J$的值和分割$T$及$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法无关, 则称该极限为$f$在$\ell$上的第一型曲线积分, 记作

$${\int }_{\ell }f(x,y)\mathrm{d}s$$

第一型曲线积分的计算

设光滑曲线$\ell$的参数方程为

$$\ell :\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}t\in [\alpha ,\beta ]$$

且$f(x,y)$为定义在$\ell$上连续函数, 则有

$${\int }_{\ell }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t),\psi (t))\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$

当曲线$\ell$可以用$y=\psi (x),x\in [a,b]$来表示且$\psi (t)$存在连续的导函数时, 上式简化为

$${\int }_{\ell }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f(x,\psi (x))\sqrt{1+{\psi }^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$$

第二型曲线积分

即定义在有向曲线上的向量的积分

$${\int }_{\ell }\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s}={\int }_{\ell }{F}_x(x,y)\mathrm{d}x+F_y(x,y)\mathrm{d}y$$

可以通过点乘的定义来转化成第一型曲线积分

第二型曲线积分的计算

设光滑曲线$\ell$的参数方程为

$$\ell :\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}t\in [\alpha ,\beta ]$$

且$\mathbf{F}(x,y)$为定义在$\ell$上的连续向量函数, 则有

$${\int }_{\ell }\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{s}={\int }_{\alpha }^{\beta }{F}_x(\varphi (t),\psi (t)){\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t+F_y(\varphi (t),\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$