Linear Map on Linear Independent Vectors

设$\varphi :V\to W$是线性映射, 则

如果${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k\in V$线性相关，则$\varphi ({\mathbf{v}}_1),\cdots ,\varphi ({\mathbf{v}}_k)$也线性相关

如果${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k\in V$线性无关，则$\varphi ({\mathbf{v}}_1),\cdots ,\varphi ({\mathbf{v}}_k)$也线性无关当且仅当

$$\ker (\varphi )\cap ⟨{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k⟩=\{0\}$$