Conductors and Dielectrics in Electric Fields

导体

1. 导体体内没有自由电荷, 导体是一个等势体, 体内电场强度恒为$0$
2. 导体以外靠近其表面的地方的电场强度和表面垂直, 大小为$E_n=\frac{{\sigma }_e}{{\epsilon }_0}$
3. 导体表面尖锐的地方（曲率$>0$）电荷密度大, 平坦的地方（曲率$\approx 0$）电荷密度较小, 而内凹的地方（曲率$<0$）电荷密度最小

导体腔

1. 导体腔内有其他带电体时, 在静电平衡的状态下, 导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为$0$
2. 导体壳内的带电体不受导体壳外的电场影响, 也就是说如果导体壳内有一个点电荷, 那么它在导体腔内的电场分布和在真空中的电场分布是一致的
3. 导体壳外的电场不受导体壳内的带电体的位置影响, 只和导体壳的几何形状和导体壳内带电体的总电荷量有关
4. 如果导体壳接地, 那么无论导体壳内的带电体的电荷量和位置如何, 导体壳外的电场均不受其影响

电容

平行板电容器

$$C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$$

同心球形电容器

$$C=\frac{4\pi {\epsilon }_0{R}_A{R}_B}{R_B-R_A}$$

同轴圆柱形电容器

$$C=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}L}{\ln \frac{R_B}{R_A}}$$

电容器储能

$$W_e=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{Q^2}{2C}$$

电介质

电极化强度

$$\mathbf{P}=\frac{N\mathbf{p}}{V}$$

电极化强度的通量

$${\oint }_S\mathbf{P}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=-\sum _{\text{enclosed}}{q}^{\prime }$$

和表面极化电荷面密度的关系

$${\sigma }_e^{{}^{\prime }}=\mathbf{P}\cdot \hat{\mathbf{n}}=P_n$$

线性介质

$$\mathbf{P}={\chi }_e{\epsilon }_0\mathbf{E}={\chi }_e{\epsilon }_0({\mathbf{E}}_0+{\mathbf{E}}^{\prime })$$

其中${\chi }_e$为极化率

电位移矢量

由

$$\begin{array}{rl}{\oint }_S\mathbf{P}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}& =-\sum q^{\prime }\\ {\oint }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}& =\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum (q+q^{\prime })\end{array}$$

得到

$$\oint ({\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\sum q$$

令$\mathbf{D}:={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$, 则有

$$\oint \mathbf{D}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\sum q$$

$\mathbf{D}$也可以写为

$$\mathbf{D}=(1+{\chi }_e){\epsilon }_0\mathbf{E}={\epsilon }_r{\epsilon }_0\mathbf{E}$$

解题思路

$$\text{边界条件}\to \mathbf{D}\to \mathbf{E}\to \mathbf{P}\to \{\begin{array}{ll}{\sigma }^{\prime }=P_{1n}-P_{2n}& \text{极化电荷}\\ {\sigma }_0=D_{1n}-D_{2n}=0& \text{自由电荷}\\ \sigma ={\epsilon }_0(E_{1n}-E_{2n})& \text{总电荷}\end{array}$$