Electromagnetic Induction

Faraday 定律

$$\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Psi }{\mathrm{d}t}=-N\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$$

互感和自感

互感

$${\mathcal{E}}_1=-M_{21}\frac{\mathrm{d}{I}_2}{\mathrm{d}t};{\mathcal{E}}_2=-M_{12}\frac{\mathrm{d}{I}_1}{\mathrm{d}t};$$

其中

$$M_{12}=M_{21}=M$$

为互感系数

自感

$$\mathcal{E}=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$$

其中$L$为自感系数

关系

在没有漏磁的情况下

$$M=\sqrt{L_1{L}_2}$$

线圈串联

顺接

$$L=L_1+L_2+2M=L_1+L_2+2\sqrt{L_1{L}_2}$$

反接

$$L=L_1+L_2+2M=L_1+L_2-2\sqrt{L_1{L}_2}$$

感应磁能

$$\begin{array}{rl}{W}_m& =\frac{1}{2}{L}_1{I}_1^2+\frac{1}{2}{L}_2{I}_2^2+\frac{1}{2}{M}_{12}{I}_1{I}_2+\frac{1}{2}{M}_{21}{I}_2{I}_1\\ & =\frac{1}{2}{L}_1{I}_1^2+\frac{1}{2}{L}_2{I}_2^2+M{I}_1{I}_2\end{array}$$

暂态过程

LR 电路

$$i=\frac{\mathcal{E}}{R}(1-\exp (-\frac{R}{L}t)),\tau =\frac{L}{R}$$

RC 电路

$$\{\begin{array}{ll}q=C\mathcal{E}(1-\exp (-\frac{1}{RC}t))& ,\text{充电}\\ q=C\mathcal{E}\exp (-\frac{1}{RC}t)& ,\text{放电}\end{array};\tau =RC$$