Electromagnetic Waves and Energy Flux Density

波动方程

一维波$\xi =f(z,t)$满足下面的函数

$$\boxed{\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}}$$

在真空中, 有

$${\nabla }^2\mathbf{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2};{\nabla }^2\mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}$$

便有光速$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$

波的能量

记介质密度为$\rho$, 振动方程为$\xi =A\cos \left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)$, 那么就有动能、势能的体密度

$$\begin{array}{rl}{e}_k& =\frac{1}{2}\rho (\frac{\partial \xi }{\partial t}{)}^2=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)\\ e_p& =\frac{1}{2}k(\xi (x+\mathrm{d}x,t)-\xi (x,t){)}^2=\frac{1}{2}\frac{E\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial \xi }{\partial x}\mathrm{d}x{)}^2\\ & =\frac{1}{2}E\frac{{\omega }^2}{u^2}{A}^2{\sin }^2\left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)\\ & =\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)\end{array}$$

Tip: 上面的推导过程中用到了 $k=E\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}$ 和$u=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$. 由此我们得到波的能量密度

$$\boxed{\epsilon ={\epsilon }_k+{\epsilon }_p=\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)}$$

真空单色平面电磁波

假设波在$z$方向传播, 直接解电磁场的波动方程, 有

$$\tilde{\mathbf{E}}(z,t)={\tilde{\mathbf{E}}}_0\exp (\mathrm{i}(kz-\omega t));\tilde{\mathbf{B}}(z,t)={\tilde{\mathbf{B}}}_0\exp (\mathrm{i}(kz-\omega t));$$

这里$\tilde{\mathbf{E}}$和$\tilde{\mathbf{B}}$是复振幅, 物理中实际的场是其实部 因为$\mathbf{E}$在$z$轴上传播, 和$x,y$无关, 故由电场的高斯定理

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=0⟹\frac{\partial E_z}{\partial z}=0$$

这表明$E_z$是一个常数, 但是我们期望着场的所有分量都会随着距离衰减, 所以令$E_z=0$; 同理由磁场的高斯定理也可以得到$B_z=0$ 所以电磁波是一个横波, 电场和磁场的波动方向垂直于波的传播方向 再根据法拉第定律$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$, 这意味着电磁场的振幅直接存在关系

$$-k({\tilde{E}}_0{)}_y=\omega ({\tilde{B}}_0{)}_x,k({\tilde{E}}_0{)}_x=\omega ({\tilde{B}}_0{)}_y$$

或者写成

$${\tilde{\mathbf{B}}}_0=\frac{k}{\omega }(\hat{\mathbf{z}}\times {\tilde{\mathbf{E}}}_0)$$

所以, 电场和磁场同相位且相互垂直, 它们的实部（振幅）有如下关系

$$\boxed{B_0=\frac{k}{\omega }{E}_0=\frac{1}{c}{E}_0}$$

电磁波的能量

电磁场单位体积内储存的能量为

$$u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)$$

则对于单色平面波有

$$u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}\frac{E^2}{c^2})={\epsilon }_0{E}^2$$

那么其能流密度（波的能流密度$:=$波的能量密度 $\times$ 波速）

$$s=uc={\epsilon }_{0}c{E}^2={\epsilon }_0{c}^{2}EB=\frac{1}{{\mu }_0}EB$$

在一般情况下, 上面的$s$用 坡印廷矢量$\mathbf{S}$ 表示:

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}(\mathbf{E}\times \mathbf{B})$$

物质中的电磁波

类似地, 可以推得

$$u=\frac{1}{2}(\epsilon E^2+\frac{1}{\mu }{B}^2)$$

和

$$\mathbf{S}=\frac{1}{\mu }(\mathbf{E}\times \mathbf{B})$$