Fresnel Diffraction

实验现象

• 圆孔衍射 一套亮暗相间的同心圆环, 中心可亮可暗, 由具体参数决定
• 圆屏衍射 基本同圆孔, 但中心总是亮点

半波带法

把波面分割成一个个的半波带, 相邻半波带到像点的距离逐个相差半个波长. 相邻半波带贡献的复振幅${\tilde{E}}_1,{\tilde{E}}_2,\dots$的相位差为$\pi$,相互抵消. 在自由传播时, 整个波前在像点产生的振幅是第一个半波带的效果之半, 即

$$E=\frac{E_1}{2}$$

矢量图解

轴上物点$P$

把每个半波带分成$N$个子区域

$$r_0+\frac{\lambda }{2N},r_0+\frac{\lambda }{N},r_0+\frac{3\lambda }{2N},\dots ,r_0+\frac{\lambda }{2}$$

把它们用矢量来表示, 合成的振幅是$E_1=2E_0$（$E_0$是自由传播时中心点的振幅）, 矢量形成的类圆弧称为振动曲线 对于每一个半波带, 振动曲线绕半圈, 直到最后终于某一个半波带的某一个位置 对于一个球面波, 考虑圆孔衍射, 光屏上轴点$P$能接收到的光线是波前的一部分, 这个点接受到的振幅和孔（光阑）的大小有关 取到最大值$E_1$时, 振幅为自由传播时的两倍. 这告诉我们, 在屏和光源之间加上阻碍后, 轴点$P$的振幅将变成原来的两倍, 光强变成原来的四倍；由能量守恒可知其他地方的光强必然会降低. 如果我们构造一个光阑, 令奇数半波带透光, 而偶数半波带都涂黑（Fresnel波带片）, 就可以极大地增大$P$处的光强

Fresnel透镜

光源$S$通过Fresnel波带片形成了一个光斑$P$, 如果把$S,P$分别看成物点、像点, 则构成了Fresnel透镜, 考虑通过第$m$个半波带（半径为${\rho }_m$）的光路的光程和直射光路的光程的差

$$\Delta L=\sqrt{s^2+{\rho }_m^2}+\sqrt{s^{\prime 2}+{\rho }_m^2}-s-s^{\prime }=\frac{{\rho }_m^2}{2s}+\frac{{\rho }_m^2}{2s^{\prime }}$$

故其物象关系为

$$\Delta L=m\lambda ⟹\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{m\lambda }{{\rho }_m^2}=\frac{\lambda }{{\rho }_1^2}$$

此我们可以给出Fresnel透镜的焦距（即该波带片的焦距）为

$$f=\frac{{\rho }_1^2}{\lambda }$$

光屏上不同点的情况

孔径的区域内的半波带数量取决于点$P$到点$O$的距离$r_0$. 当点$P$沿着中心轴的任一方向移动时, 半波带的数量无论增加还是减少都在奇数和偶数之间振荡. 因此, 光强将经历一系列最大值和最小值, 形成的衍射条纹

直边衍射

用直刀口将点光源的波前遮住一半, 相当于每一个半波带都损失一半, 但是相对的相位关系仍然不变, 对应的像点的振幅变成原来的一半, 亮度变成自由传播时的四分之一（因为没有有圆孔完全遮挡一部分半波带所以直边衍射不能带来中心振幅的增益）