Hydromechanics

流体静力学

应力

$$\mathbf{T}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}S}$$

当$\mathbf{T}$的方向和$\hat{\mathbf{n}}$相同时，$\mathbf{T}$称为张应力；相反时，$\mathbf{T}$称为压应力. 在流体中，流体质元通常相互挤压，$\mathbf{T}$为压应力，取其大小，改记成

$$p=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}S}$$

称为压强. 流体中任意一个点部位的压强和面元$\mathrm{d}S$的取向无关

浮力

$${\mathbf{F}}_{\text{浮}}=-{\oint }_{\mathcal{V}}\rho \mathbf{g}\mathrm{d}V$$

浮力的作用中心，也就是浮心，是浸入流体的体积的几何中心

流体动力学

连续性方程

对于不可压缩流体，有

$${\oint }_{\mathcal{S}}\mathbf{v}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0$$

在一个流管中可以简化为

$$v_1{S}_1=v_2{S}_2⟹Q_1=Q_2$$

定常流动

速度场和时间无关的流动被称为定常流动

动量定理

$${\mathbf{F}}_{\text{合}}=\rho Q({\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1)=Q_m({\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1)$$

其中$Q_m=\rho Q=\rho Sv$是质量流量

Bernoulli 方程

$$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\text{constant}$$

Tips: 先确定参考系和要分析的流体对象（只能是一种密度均匀的不可压缩流体），然后设置$h$的零点，建立$h$坐标系，最后再开始列Bernoulli方程.

黏性流体的流动

黏力

定义粘力

$$\mathrm{d}\mathbf{f}=\eta (\nabla \mathbf{v})\mathrm{d}S⟹\mathrm{d}f=\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}S$$

可以通过观察$v$随$z$变化的趋势判断$f$是动力还是阻力，这里$\eta$被称为流体的黏度

层流和湍流

经验公式，定义

$$Re=\frac{\rho vr}{\eta }$$

为Reynolds数，其中$r$为流管半径. $Re$和运动粘度$\frac{\eta }{\rho }$成反比. 一般来说，运动粘度越低，$Re$越大，越容易发生湍流. 对于水平流管中的流体，其临界值大概在$1000\sim 2000$左右

Poiseuille 公式

在Reynolds数较小时，黏性流体在水平管道内作层流. 如果流动是定常的，从中央轴到管壁，流速有一稳定的法向分布$v=v(r)$. 现在取长为$L$的一段管道，对于半径为$r$的一段流体有

$$(p_2-p_1)\pi r^2=\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}2\pi rL$$

得到

$$\mathrm{d}v=\frac{(p_2-p_1)r}{2\eta L}\mathrm{d}r$$

积分有

$$v=\frac{p_1-p_2}{4\eta L}(R^2-r^2)$$

管道的体积流量便是

$$Q={\int }_0^{E}v(r)2\pi r\mathrm{d}r=\frac{p_1-p_2}{8\eta L}\pi R^4$$

利用此结果可以方便地测定流体的黏度$\eta$

黏性流体中运动物体的受力

黏性阻力

半径为$r$，平动速度为$v$的球体，理论上可以导得沿运动方向所受的合成黏性阻力大小为

$$f_v=4\pi r\eta v$$

Stokes 公式

运动球体在流体中受到的阻力

$$f=\text{黏性阻力}+\text{压差阻力}=4\pi r\eta v+2\pi r\eta v=6\pi r\eta v$$