Preliminary Exploration of Atomic Models

里德堡原子

里德堡原子 是指具有高激发态 (主量子数 $n$ 很大) 的原子.

• 只有一个电子处于很高的激发态, 里 原子实 (原子核 + 其他电子) 比较远
• 原子实对这个电子的库仑作用可视为一个点电荷的库仑作用 因此我们可以把里德堡原子看作类氢原子, 把多体问题转化为单电子问题

电子的发现和汤姆逊原子模型

在 19 世纪末, 科学家们对原子的性质有了新的认识. 在此之前, 约翰·道尔顿的原子理论认为原子是不可分割的粒子. 然而, 随着实验技术的进步, 研究者开始探索原子内部可能存在的更小粒子.

J.J. 汤姆逊的发现始于他对阴极射线的研究. 阴极射线管是一种真空密封的玻璃管, 内部抽空空气后, 通过施加高电压在两个电极间产生电流. 汤姆逊发现, 当电流通过时, 管壁会出现绿色辉光, 并观察到从阴极（负电极）发射出的射线可以被磁场或电场偏转. 这表明这些射线是由带负电的粒子组成.

通过进一步实验, 汤姆

• 测量了这些粒子的电荷与质量比（通过在阴极射线管中加入电场和磁场是得粒子恰好不偏转）
• 发现其值阴极材料无关, 和射线管填充的气体类型也无关（说明所有原子中都存在电子）
• 且远小于原子质量（电子的质量是氢离子的千分之一）

J.J. 汤姆逊提出原子是一个均匀带正电的球体, 电子嵌入其中, 分布均匀电中性正电荷与电子的负电荷平衡, 确保原子整体不带电

$\alpha$粒子散射实验和卢瑟福原子模型

巴邢定律

巴邢定律（Paschen's Law）是描述气体放电中击穿电压与气体压力和电极间距关系的一个物理定律, 特别适用于直流辉光放电这样的低压气体放电现象. 辉光放电是一种常见的放电形式, 比如霓虹灯或某些等离子体显示器中常见的发光现象.

简单来说, 巴邢定律告诉我们, 在两个平行电极之间, 当电压升高到一定程度时, 气体会被电离, 发生击穿放电. 而这个击穿电压（或者说起辉电压）并不是固定不变的, 它取决于两个关键因素：

1. 气体压力（p）：通常以帕斯卡或托为单位.
2. 电极间距（d）：也就是两个电极之间的距离. 巴邢定律

$$V_b=f(pd)$$

巴邢曲线 描述了击穿电压与压力和间隙间距的函数关系, 对于一定的气体, 存在最低的击穿电压 $V_{b\text{min}}$, 对应的 $pd$ 值为 $(pd{)}_0$

真空绝缘 在接近真空 (压力接近 0 Pa) 的情况下, 电子的自由程远大于极间距离, 碰撞电离实际上不可能发生, 因此真空是一种理想的绝缘"材料"

$\alpha$粒子散射实验

Tip

考试不考数学推导, 主要是物理图像和实验过程

实验过程

α粒子散射实验由欧内斯特·卢瑟福及其同事汉斯·盖革和欧内斯特·马斯登在1909年至1913年间进行, 旨在探索原子的内部结构. 实验装置包括以下步骤：

1. 粒子源：使用放射性物质（如镭或钋）产生α粒子, α粒子是带正电的氦原子核.
2. 靶材：将α粒子束射向一块极薄的金箔, 厚度仅几百个原子, 以确保α粒子主要与单个原子相互作用.
3. 探测：在金箔周围放置一个可移动的闪烁屏探测器, 当α粒子击中时会产生闪光, 实验者通过显微镜观察散射后的粒子轨迹.

关键观察

实验结果显示：

• 大多数α粒子几乎不偏转地穿过金箔, 表明原子的大部分空间是空的.
• 少数α粒子发生了大角度散射, 甚至有极少数被反弹回来, 这与汤姆逊的模型（原子为均匀带正电球体, 电子嵌在其中）预测的小角度散射不符.

关键物理图像

卢瑟福根据实验结果提出了核模型：

• 原子的大部分质量和正电荷集中在一个极小的区域——原子核.
• 电子围绕原子核运动, 占据原子的大部分体积.
• 当带正电的α粒子靠近原子核时, 受到强烈的库仑斥力, 导致大角度散射；未接近原子核的粒子则几乎不受影响, 径直穿过.

弱点

• 无法解释分立的光谱（量子性）
• 无法解释原子核的稳定性

理论(汤姆孙模型的情况, 和实际不符合)

$\alpha$粒子的受力

$\alpha$粒子是He原子核, 由 两个质子 和 两个中子 组成, 带$2e$的正电. 设$Ze$为原子中总的正电荷量, $R$为原子的半径, 根据汤姆孙的模型, 正电荷均匀分布在球形原子内, 于是就有

$$\{\begin{array}{ll}F=\frac{2Z{e}^{2}r}{4\pi {ϵ}_0{R}^3},& r<R\\ F_{\max }=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{R}^2},& r=R\\ F=0,& r>R\end{array}$$

注意这里我们忽略了电子所带负电和对$\alpha$粒子的影响. 这是因为在$\alpha$粒子穿过原子的过程中, 它会与 大量的 电子相互作用, 它们对$\alpha$粒子作用的平均效应可以忽略不计.

$\alpha$粒子的偏转角度

假设 $\alpha$ 粒子在穿过正电荷球体时始终受到最大静电力$F_{\max }$, 并作用在最大距离(原子的直径也就是$2E$)上, 计算出 $\alpha$ 粒子的最大动量变化为

$$\Delta p_{\max }=F_{\max }\cdot \Delta t=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{2Z{e}^2}{R^2}\cdot \frac{2R}{v}$$

对应的偏转角度就是

$${\theta }_{\max }\approx \sin {\theta }_{\max }\approx \frac{\Delta p_{\max }}{p}=\frac{4Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}Rm{v}^2}=\frac{2e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}R}\cdot \frac{Z}{E}$$

注意这个公式只在小偏转角度下成立.

理论(卢瑟福模型)

瞄准距离

$$\cot \frac{\theta }{2}=\frac{2b}{D}$$

这里

$$D=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{zZ{e}^2}{E_0},E_0=\frac{1}{2}m{v}_0^2$$

如果我们取$z=2$的$\alpha$粒子就有

$$b=\frac{D}{2}\cot \frac{\theta }{2}=\frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{E}_0}\cot \frac{\theta }{2}$$

玻尔原子模型

主要观点

1. 稳定轨道：电子可以在某些离核特定距离的稳定轨道上运动, 而不会辐射能量. 这些轨道是离散的, 电子不能在轨道间连续移动.
2. 角动量量子化：电子在轨道的角动量必须是约化普朗克常数 $\hslash$ 的整数倍, 公式为 $m_{e}vr=n\hslash$, 其中 $n=1,2,3,\dots$ 是主量子数, $\hslash =h/2\pi$, $h$ 是普朗克常数. 氢原子最小的轨道（$n=1$）半径为玻尔半径, 约为0.0529纳米.
3. 能量跃迁：电子通过吸收或发射电磁辐射在不同轨道间跳转, 能量差由普朗克关系式 $\Delta E=E_2-E_1=h\nu$ 决定, 其中 $\nu$ 是辐射频率.

基于这些假设, 玻尔模型计算了氢原子的能量水平, 公式为 $E=-\frac{13.6Z^2}{n^2},\text{eV}$, 其中 $Z$ 是原子序数, 对于氢原子 $Z=1$, 基态能量为-13.6 eV. 轨道半径随 $n^2$ 增加, 电子在更高能级的轨道上距离核更远.

组合常数

玻尔半径

$$a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}=5.292\times 10^{-11}\mathrm{m}$$

精细结构常数

$$\alpha =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}\approx \frac{1}{137}$$

里得伯常数

$$Ry=\frac{2{\pi }^2{m}_e{e}^4}{(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{h}^2}\approx 13.6\mathrm{eV}$$

速度 半径和能量

$$\{\begin{array}{l}{v}_n=\frac{\alpha c}{n},\\ r_n=n^2{a}_0,\\ E_n=-\frac{1}{2n^2}{m}_e{c}^2{\alpha }^2=-\frac{1}{n^2}Ry\end{array}n=1,2,3,\dots$$

这些物理量只和主量子数$n$有关

类氢原子体系

由于

$$\{\begin{array}{l}\frac{m{v}^2}{r}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z{e}^2}{r^2}\\ mvr=n\hslash ,n=1,2,3\dots \end{array}$$

计算有

$$\{\begin{array}{l}{E}_n=-\frac{Z^2}{n^2}Ry\\ r_n=\frac{n^2}{Z}{a}_0\end{array},n=1,2,3,\dots$$

弗兰克-赫兹实验

目的

证实了原子内部能量是量子化的

物理图像

这个实验就像是用 "电子炮弹" 轰击 "原子靶子" , 通过观察电子的能量损失, 来探测原子内部的能级结构.

想象一下, 你用小球扔向一个梯子. 如果小球的能量不足以到达梯子的下一级台阶, 那么小球就会被弹回来, 损失的能量很小. 但是, 如果小球的能量恰好等于梯子两级台阶之间的能量差, 那么小球就会被梯子吸收, 能量全部损失. 弗兰克-赫兹实验就是类似的原理, 只不过这里的小球是电子, 梯子是原子的能级.

实验过程

弗兰克-赫兹实验的装置主要包括一个真空管, 管内含有低压的稀有气体 (通常是汞蒸汽) , 以及三个电极:

• 阴极 (K) : 发射电子, 通常是热阴极, 通过加热钨丝使其发射电子.
• 栅极 (G) : 加正电压, 加速电子. 栅极上有一个小孔, 允许一部分电子通过.
• 阳极 (A) : 收集电子, 测量电流. 阳极的电势比栅极略低, 形成一个反向电压, 只有能量足够大的电子才能克服这个反向电压到达阳极.

实验步骤如下:

1. 加热阴极, 使其发射电子.
2. 在栅极上施加一个逐渐增大的正电压 (加速电压 $V_G$ ) , 使电子加速.
3. 电子在阴极和栅极之间运动, 与管内的汞原子发生碰撞.
4. 通过栅极小孔的电子, 如果能量足够克服阳极的反向电压 $V_A$ , 就能到达阳极, 形成电流 $I$ .
5. 测量阳极电流 $I$ 随栅极电压 $V_G$ 的变化.

• 电子的能量: 电子在栅极获得的动能为 $e{V}_G$ , 其中 $e$ 是电子电荷.
• 能量损失: 当电子与汞原子发生碰撞时, 如果电子的能量 $e{V}_G$ 小于汞原子的第一激发态能量 $E_1$ , 则发生弹性碰撞, 电子的能量损失很小. 如果 $e{V}_G$ 恰好等于 $E_1$ , 则发生非弹性碰撞, 电子将能量传递给汞原子, 使其跃迁到第一激发态, 电子自身能量几乎损失殆尽.
• 电流变化: 当 $V_G$ 较小时, 电流 $I$ 随 $V_G$ 增大而增大. 当 $e{V}_G$ 达到 $E_1$ 时, 电子发生非弹性碰撞, 能量损失, 无法克服阳极的反向电压, 导致电流 $I$ 下降. 随着 $V_G$ 继续增大, 电子再次获得足够的能量到达阳极, 电流 $I$ 再次增大. 如此反复, 电流 $I$ 随 $V_G$ 呈现周期性的峰谷变化.
• 能级计算: 通过测量电流峰谷之间的电压差 $\Delta V$ , 可以计算出汞原子的第一激发态能量 $E_1=e\Delta V$ . 实验测得 $\Delta V\approx 4.9\text{ V}$ , 因此 $E_1\approx 4.9\text{ eV}$ .