Vibrations and Waves

`# 简谐振动 简谐振动就是旋转矢量

$$x=A\cos (\omega t+\varphi )=\text{Re}(A{e}^{i(\omega t+\varphi )})$$

同方向不同频率简谐振动的合成

设两个同方向不同频率的简谐振动拥有相同的振幅和初相位

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =A\cos ({\omega }_{1}t+\varphi ),x_2=A\cos ({\omega }_{2}t+\varphi )\\ ⟹x& =x_1+x_2=2A\cos (\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t)\cos (\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}t+\varphi )\end{array}$$

这里我们可以把振幅看作

A(t) = 2A\cos(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t)\

振幅变化的频率为

$${\nu }_A=\frac{1}{2}\left|{\nu }_1-{\nu }_2\right|$$

由于振动的强弱和振幅的平方成正比, 这里振动的强弱时间有关, 这种现象为称为拍现象. 同时, 我们也能推出振动强弱的变化频率

$$\nu =2{\nu }_A=\left|{\nu }_1-{\nu }_2\right|$$

我们把这个$\nu$称为拍频

简谐运动的动力学性质

位置和速度的关系

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}}$$

阻尼振动

阻力和速度成正比

$$f=-\gamma \dot{x}$$

运动方程

$$m\ddot{x}=-kx-\gamma \dot{x}$$

将其规范化

$$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0\text{\hspace{1em}(∗)}$$

其中

1. 阻力系数$\gamma$
2. 阻尼系数$\beta =\frac{\gamma }{2m}$
3. 固有角频率${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ 现在来讨论方程$(\ast )$的解, 猜想

$$x^{\ast }=e^{rt}$$

带入方程, 可以解得

$$r_1=-\beta +\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2};r_2=-\beta -\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$$

对于其特解, 分三种情况讨论

过阻尼$\beta >{\omega }_0$

有两个特解

$$x_1^{\ast }=e^{r_{1}t},x_2^{\ast }=e^{r_{2}t}$$

通解是以上两个解的线性组合

临界阻尼$\beta ={\omega }_0$

这个时候$r_1=r_2=\beta$, 只能得到一个特解

$$x_1^{\ast }=e^{-\beta t}$$

猜测另一个特解为

$$x_2^{\ast }=t{e}^{-\beta t}$$

通解是这两个解的线性组合

低阻尼$\beta <{\omega }_0$

引入

$$\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$$

那么有

$$x_1^{\ast }=e^{(-\beta +\mathrm{i}\omega )t};x_2^{\ast }=e^{(-\beta -\mathrm{i}\omega )t}$$

可以引入两个新的独立特解

$$x_1=\frac{1}{2}(x_1^{\ast }+x_2^{\ast });x_2=\frac{1}{2}(x_1^{\ast }-x_2^{\ast })$$

取通解

$$x=A_1{x}_1-A_2{x}_2=e^{-\beta t}\sin (A_1\cos \omega t-A_2\sin \omega t)$$ $$x=\sqrt{A_1^2+A_2^2}{e}^{-\beta t}(\frac{A_1}{\sqrt{A_1^2+A_2^2}}\cos \omega t-\frac{A_2}{\sqrt{A_1^2+A_2^2}}\sin \omega t)$$

令

$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2},\cos \varphi =\frac{A_1}{\sqrt{A_1^2+A_2^2}},\sin \varphi =\frac{A_2}{\sqrt{A_1^2+A_2^2}}$$

则通解可以表示为

$$x=A{e}^{-\beta t}\cos (\omega t+\varphi )$$

受迫振动

驱动力

$$F=F_0\cos \omega t$$

令

$$\beta =\frac{\gamma }{2m},{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}},f_0=\frac{F_0}{m}$$

可以得到稳态解

$$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$$

其中

$$A=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2)+4{\beta }^2{\omega }^2}},\tan \varphi =-\frac{2\beta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$$

波

波的表示

$$\xi (x,t)=A\cos (\omega t-kx+\varphi )$$

其中$k=\frac{2\pi }{\lambda }$被称为波数 将其矢量化, 则有

$$\xi (x,\mathbf{r})=A\cos (\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+\varphi )$$

这里$\mathbf{k}$的方向和波的传播方向相同

波的干涉

驻波

取两列振幅相同的相干平面简谐波, 假设分别沿$x$轴正、负方向传播, 即有

$${\xi }_1=A\cos (\omega t-kx+\varphi ),{\xi }_2=A\cos (\omega t+kx+\varphi )$$

相干叠加后, 就有

$$\xi ={\xi }_1+{\xi }_2=2A\cos (kx+\frac{{\varphi }_2-{\varphi }_1}{2})\cos (\omega t+\frac{{\varphi }_1+{\varphi }_2}{2})$$

发现振幅和位置有关, 且某些位置的振幅始终为零, 称为波节；有些位置的振幅最大, 称为波腹. 波节和波节、波腹和波腹之间的间距均为$\frac{\lambda }{2}$

波的反射

1. 端位自由, 没有半波损
2. 端位固定, 有半波损, 即入射波和反射波的相位相差一个$\pi$

Doppler 效应

$$f^{\prime }=\frac{u\pm v_{\text{Observer}}}{u\mp v_{\text{Source}}}f$$

冲击波

当波源的运动速度$v$大于波的传播速度$u$时, 会形成冲击波, 此时波前会形成一个圆锥体 定义马赫数

$$M=\frac{u}{v}$$

则可以推得锥面半顶角为$\theta =\arcsin M=\arcsin \frac{v}{u}$ 注意这里的马赫数是小于一的

波动方程

一维波$\xi =f(z,t)$满足下面的函数

$$\boxed{\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}}$$

弹性介质

定义杨氏模量

$$E=\frac{F}{S}/\frac{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{d}x}$$

则在$E$均匀的介质中有Hooke定律

$$F=k\Delta l,k=\frac{ES}{l_0}$$

对于切向作用力, 类似地定义切变模量

$$G=\frac{T}{S}/\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$$

对于弹性介质中的横波和纵波, 可以推导

$$u_{\parallel }=\sqrt{\frac{E}{\rho }}\text{\hspace{1em}(纵波)}$$ $$u_{\perp }=\sqrt{\frac{G}{\rho }}\text{\hspace{1em}(横波)}$$

弦上的横波

$$u=\sqrt{\frac{T}{\lambda }}$$

其中$T$为弦的张力, $\lambda$为弦的质量线密度

空气中的声波

$$u=\sqrt{\frac{\gamma p_0}{{\rho }_0}}$$

波的能量

记介质密度为$\rho$, 振动方程为$\xi =A\cos \left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)$, 那么就有动能、势能的体密度

$$\begin{array}{rl}{e}_k& =\frac{1}{2}\rho (\frac{\partial \xi }{\partial t}{)}^2=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)\\ e_p& =\frac{1}{2}k(\xi (x+\mathrm{d}x,t)-\xi (x,t){)}^2=\frac{1}{2}\frac{E\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial \xi }{\partial x}\mathrm{d}x{)}^2\\ & =\frac{1}{2}E\frac{{\omega }^2}{u^2}{A}^2{\sin }^2\left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)\\ & =\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)\end{array}$$

Tip: 上面的推导过程中用到了 $k=E\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}$ 和$u=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$. 由此我们得到波的能量密度

$$\boxed{\epsilon ={\epsilon }_k+{\epsilon }_p=\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\omega (t-\frac{x}{u})\right)}$$