How to Draw UCAS via Fourier Series

致谢

• 灵感源自3Blue1Brown的制作的关于Fourier变换的科普视频
• 在生成级数的过程中有参考Reddit论坛上给出的部分Golang代码

声明

本网页和整个基于Quartz的笔记仓库均为作者自己的部分Obsidian笔记在云端的一个备份，并不包含在这次计算机科学导论的作业中，而仅用来对此作业的数学原理作出一个简单说明

考虑Fourier级数的复数形式，我们总可以把一个周期函数写成

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{d}_n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n{\omega }_{0}x},\text{ where }{d}_n=\frac{1}{T}{\int }_0^T{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n{\omega }_{0}x}f(x)\mathrm{d}x$$

在二维的情况下，我们把$f(x)$矢量化

$$\mathbf{f}(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\mathbf{d}}_n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n{\omega }_{0}x},\text{ where }{\mathbf{d}}_n=\frac{1}{T}{\int }_0^T{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n{\omega }_{0}x}\mathbf{f}(x)\mathrm{d}x$$

我们的目标是通过待绘制的图样来得到$d_n$，由于点阵图样分辨率低、描述需要的参数多，并不适合用Fourier级数来拟合，所以我们采用图样更加光滑、需要参数少且可以无损放大的SVG格式来表示图样（有人也是这样想的）。在SVG格式的文档中，一条曲线路径Path是用Bézier曲线描述的：

The cubic curve, C, is the slightly more complex curve. Cubic Béziers take in two control points for each point. Therefore, to create a cubic Bézier, three sets of coordinates need to be specified.

C x1 y1, x2 y2, x y
(or)
c dx1 dy1, dx2 dy2, dx dy

The last set of coordinates here (x, y) specify where the line should end. The other two are control points. (x1, y1) is the control point for the start of the curve, and (x2, y2) is the control point for the end. The control points essentially describe the slope of the line starting at each point. The Bézier function then creates a smooth curve that transfers from the slope established at the beginning of the line, to the slope at the other end.

故考虑一条三阶Bézier曲线

$$\mathbf{B}(t)=(1-t{)}^3{\mathbf{P}}_0+3(1-t{)}^{2}t{\mathbf{P}}_1+3(1-t)t^2{\mathbf{P}}_2+t^3{\mathbf{P}}_3,0\le t\le 1$$

写成关于$t$的函数

$$\mathbf{B}(t)=(-{\mathbf{P}}_1+3{\mathbf{P}}_2-3{\mathbf{P}}_3+{\mathbf{P}}_4)t^3+3({\mathbf{P}}_1-2{\mathbf{P}}_2+{\mathbf{P}}_3)t^2+3(-{\mathbf{P}}_1+{\mathbf{P}}_2)t$$

我们可以把待绘制的图案切成一条条的Bézier曲线前后连接，在时域上就是每一条Bézier曲线对应一个起始时间$t_{i,k}$和$t_{f,k}$，其中$k=1,2,\dots ,K$，此时就有

$$\mathcal{F}\left\{t_m^n\right\}=\sum _{k=1}^K\frac{1}{2\pi (t_{f,n}-t_{i,n}{)}^m}{\int }_{t_{i,n}}^{t_{f,n}}(t-t_{i,n}{)}^m{e}^{-\mathrm{i}nt}\mathrm{d}t$$

从而得到

$${\mathbf{d}}_m=(-{\mathbf{P}}_1+3{\mathbf{P}}_2-3{\mathbf{P}}_3+{\mathbf{P}}_4)\mathcal{F}\left\{t_m^3\right\}+3({\mathbf{P}}_1-2{\mathbf{P}}_2+{\mathbf{P}}_3)\mathcal{F}\left\{t_m^2\right\}+3(-{\mathbf{P}}_1+{\mathbf{P}}_2)\mathcal{F}\left\{t_m^1\right\}$$

由此我们成功从SVG图像中获得了绘图所需的Fourier系数