Time-Domain Analysis of Control Systems

动态响应

• 暂态响应: 系统在某一输入信号作用下, 其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程, 也称为过渡过程或瞬态响应
• 稳态响应: 系统在某一输入信号作用下, 其输出量在时间趋于无穷大时的状态, 也称为静态

超调

超调指系统响应超过其最终稳态值的程度, 当无超调时, 系统输出 $c(t$) 会逐渐逼近 $c(\infty )$，但始终不会超过 $c(\infty )$ 这个值

时域性能指标

延迟时间 $t_d$

$c(t)$从$0$到$0.5c(\infty )$的时间

上升时间$t_r$

$c(t)$从$0$到第一次到达$c(\infty )$的时间. 无超调时, $c(t)$从$0.1c(\infty )$到$0.9c(\infty )$的时间

峰值时间$t_p$

$c(t)$从$0$到达第一个峰值的时间

调节时间$t_s$

$c(t)$ 到达并保持在与稳态值 $c(\infty )$ 之间的偏差小于 $\pm 2\%$ 或 $\pm 5\%$ 所需要的时间. 通常该偏差范围称为误差带，用 $\Delta$ 表示，即$\Delta =2\%$ 或 $\Delta =5\%$

超调量$\sigma \%$

$c(t)$ 最大峰值偏离稳态值$c(\infty )$的部分, 常用百分数表示, 描述系统的平稳性

$${\sigma }_p\%=\left|\frac{c(t_p)-c(\infty )}{c(\infty )}\right|\times 100\%$$

稳态误差$e_{ss}$

系统稳定后的误差终值

$$e_{ss}=\underset{t\to \infty }{\lim }e(t)=\underset{t\to \infty }{\lim }\left[r(t)-c(t)\right]$$

一阶系统

定义

凡是可以用一阶微分方程描述的系统, 称为一阶系统

微分方程

$$T\frac{\mathrm{d}c(t)}{\mathrm{d}t}+c(t)=r(t)$$

传递函数

$$\Phi (s)=\frac{R(s)}{C(s)}=\frac{1}{Ts+1}$$

注意到

$$\frac{\frac{1}{Ts}}{\frac{1}{Ts}+1}=\frac{1}{Ts+1}$$

所以该系统可以用如下的开环结构图来表示

单位阶跃响应

$$C(s)=\Phi (s)R(s)=\frac{1}{Ts+1}\times \frac{1}{s}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}⟹c(t)=1-\exp (-t/T)$$

特点1: 响应曲线在$[0,\infty )$的时间区间中逐渐接近但始终不会超过其稳态值($c(\infty )=1$), 这样的响应称为 非周期响应 (无振荡).

特点2: 时间常数$T$是表征系统响应特征的唯一参数

特点3: 响应曲线初始斜率为$c^{\prime }(0)=\frac{1}{T}\exp (-0/T)=\frac{1}{T}$. $T$反应了系统的 惯性. $T$越大惯性越大, 响应越慢.

单位斜坡响应

输入为$r(t)=t\cdot 1(t)$, 这里$1(t)$表示单位阶跃响应.

$$C(s)=\Phi (s)R(s)=\frac{1}{Ts+1}\times \frac{1}{s^2}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+1/T}$$

从而

$$c(t)=t-T\left[1-\exp (-t/T)\right]⟹c(\infty )=t-T$$

稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同, 但是时间上相差了一个常数$T$. 表明过渡过程结束进入稳态后, 在位置上仍有误差, 一般叫做跟踪误差.

单位抛物线响应

$$r(t)=\frac{1}{2}{t}^2⟹R(s)=\frac{1}{s^3}$$

于是有

$$C(s)=\Phi (s)R(s)=\frac{1}{s^3(Ts+1)}=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2}{s+1/T}$$

所以

$$c(t)=\frac{1}{2}{t}^2-Tt+T^2\left[1-\exp (-t/T)\right]$$

对应的误差函数为

$$e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T^2\left[1-\exp (-t/T)\right]$$

我们发现当$t\to \infty$时, 有$e(t)\to \infty$. 所以

• 一阶系统不能跟踪抛物线信号
• 一阶系统可跟踪斜坡信号, 但存在稳态跟踪误差
• 一阶系统可跟踪阶跃信号和脉冲信号, 且无稳态跟踪误差

小结

根据线性系统的性质, 输入是求导的关系也会导致输出是求导的关系. 故在下表中, 输出从上到下是求导, 从下到上是积分(考虑零初始条件)

导数阶数	输入	输出
$0$	$\frac{1}{2}{t}^2\cdot 1(t)$	$\left[\frac{1}{2}{t}^2-Tt+T^2(1-\exp (-t/T))\right]\cdot 1(t)$
$1$	$t\cdot 1(t)$	$\left[t-T(1-\exp (-t/T))\right]\cdot 1(t)$
$2$	$1(t)$	$\left[1-\exp (-t/T)\right]\cdot 1(t)$
$3$	$\delta (t)$	$\frac{1}{T}\exp (-t/T)\cdot 1(t)$

Note

由于一阶系统都具有相同的指数形式, 我们可以统一给出其调整时间为 $t_s=3T(\Delta =5\%),t_s=4T(\Delta =2\%)$ 因为$\exp (-3)\approx 0.0498\approx 5\%$, $\exp (-4)\approx 0.0183\approx 2\%$

二阶系统

定义

系统开环传递函数

$$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s(s+2\xi {\omega }_n)}$$

系统闭环传递函数

$$\Phi (s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

对应的特征方程为

$$s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$$

具有两个特征根

$$s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{{\xi }^2-1}$$

其中$\xi$为 阻尼比, ${\omega }_n$ 为 无阻尼振荡频率 或 自然频率

例子 (RLC分压电路) 我们将RLC串联, 以总电压为输入, C上的电压作为输出, 则有传递函数为

$$\Phi (s)=\frac{\frac{1}{Cs}}{R+Ls+\frac{1}{Cs}}=\frac{1}{LC{s}^2+RCs+1}=\frac{1}{s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

其中

$$\xi \equiv \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}},{\omega }_n\equiv \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

二阶系统闭环极点

1. 过阻尼 ($\xi >1$) $\xi >1$ 时, 特征根为一对不等值的负实根, 位于$s$平面负实轴上, 系统响应表现为过阻尼状态

2. 临界阻尼 ($\xi =1$) $\xi =1$ 时, 特征根为一对等值的负实根, 位于$s$平面负实轴上, 系统响应表现为临界阻尼状态

3. 欠阻尼 ($0<\xi <1$) $\xi <1$ 时, 特征根为一对具有负实部的共轭复根, 位于$s$平面的左半平面上, 系统响应表现为欠阻尼状态

4. 无阻尼等幅振荡 ($\xi =0$) 特征根为一对幅值相等的虚根, 位于$s$平面虚轴上, 系统响应表现为无阻尼的等幅振荡过程

5. 负欠阻尼振荡发散 ($-1<\xi <0$) 特征根为一对具有正实部的共轭复根, 位于$s$平面的右半平面上, 系统响应表现为振荡发散

6. 负过阻尼单调发散 ($\xi \le -1$) 特征根为两个正实根, 位于$s$平面的右实轴上, 系统响应表现为单调发散, 称为负过阻尼状态

单位阶跃响应

$$C(s)=\Phi (s)R(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s(s-s_1)(s-s_2)},s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{{\xi }^2-1}$$

令${\omega }_d\equiv {\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}$, 从而$s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm j{\omega }_d$ 1. 欠阻尼 ($0<\xi <1$)

$$\begin{array}{rl}C(s)& =\frac{1}{s}\frac{{\omega }_n^2}{(s+\xi {\omega }_n+j{\omega }_d)(s+\xi {\omega }_n-j{\omega }_d)}=\frac{1}{s}\frac{{\omega }_n^2}{(s+\xi {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}\\ & =\frac{1}{s}-\frac{s+\xi {\omega }_n}{(s+\xi {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}-\frac{\xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}\frac{{\omega }_d}{(s+\xi {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}\end{array}$$

可解出

$$\begin{array}{rl}c(t)& =1-\exp (-\xi {\omega }_{n}t)\cos {\omega }_{d}t-\frac{\xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}\exp (-\xi {\omega }_{n}t)\sin {\omega }_{d}t\\ & =1-\frac{1}{\sqrt{1-{\xi }^2}}\exp (-\xi {\omega }_{n}t)\sin ({\omega }_{d}t+\beta ),\beta \equiv \arctan \left(\frac{\sqrt{1-{\xi }^2}}{\xi }\right)\end{array}$$

这是一个衰减振荡的函数

$$c(t)=\underset{\text{stable}}{\underbrace{1}}-\frac{1}{\sqrt{1-{\xi }^2}}\underset{\text{decay}}{\underbrace{\exp (-\xi {\omega }_{n}t)}}\underset{\text{oscillation}}{\underbrace{\sin ({\omega }_{d}t+\beta )}}$$

2. 无阻尼 ($\xi =0$)

$$c(t)=\left[1-\exp (-\xi {\omega }_{n}t)\cos {\omega }_{d}t-\frac{\xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}\exp (-\xi {\omega }_{n}t)\sin {\omega }_{d}t\right]{|}_{\xi \to 0}=1-\cos {\omega }_{n}t$$

这是一个等辐振荡

3. 临界阻尼 ($\xi =1$) 此时

$$s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\xi }^2-1}=-{\omega }_n$$

有

$$C(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s(s+{\omega }_n{)}^2}=\frac{1}{s}-\frac{{\omega }_n}{(s+{\omega }_n{)}^2}-\frac{1}{s+{\omega }_n}$$

可以解得

$$c(t)=1-(1+{\omega }_{n}t)\exp (-{\omega }_{n}t),t\ge 0$$

它的性质是

$$c(\infty )=1,\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{d}c(t)}{\mathrm{d}t}=0$$

此时响应是稳态值为$1$的非周期上升过程, 整个过程不出现振荡, 无超调, 稳态误差 $=0$.

4. 过阻尼 ($\xi >1$) 此时设

$$\begin{array}{rl}{s}_1& =\left(-\xi +\sqrt{{\xi }^2-1}\right){\omega }_n=-\frac{1}{T_1}\\ s_2& =\left(-\xi -\sqrt{{\xi }^2-1}\right){\omega }_n=-\frac{1}{T_2}\end{array}$$

于是

$$\begin{array}{rl}C(s)& =\frac{{\omega }_n^2}{s(s-s_1)(s-s_2)}\\ & =\frac{1}{s}+\frac{1}{(T_2/T_1-1)}\times \frac{1}{s+\frac{1}{T_1}}+\frac{1}{(T_1/T_2-1)}\times \frac{1}{s+\frac{1}{T_2}}\end{array}$$

可解得

$$c(t)=1+\frac{1}{T_2/T_1-1}\exp (-t/T_1)+\frac{1}{T_1/T_2-1}\exp (-t/T_2),t\ge 0$$

需要注意的是$c(t)<1$.

$\xi$对于系统性能的影响

• 实部$-\xi {\omega }_n$决定衰减项, 正的$\xi$决定系统是收敛的, 负的$\xi$决定系统是发散的
• 虚部$\pm {\omega }_n\sqrt{{\xi }^2-1}$决定振荡项, 如果$\left|\xi \right|<1$决定系统是振荡的(共轭复根会在Laplace反变换中引入三角函数), 反之系统就是单调的

二阶系统的动态性能分析

欠阻尼

延迟时间 $t_d$

$$c(t_d)=0.5⟹\boxed{t_d\approx \frac{1+0.7\xi }{{\omega }_n},(0<\xi <1)}$$

上升时间 $t_r$

$$c(t_r)=1⟹\frac{1}{\sqrt{1-{\xi }^2}}\exp (-\xi {\omega }_n{t}_r)\sin ({\omega }_d{t}_r+\beta )=1⟹{\omega }_d{t}_r+\beta =k\pi$$

令$k=1$ (第一次达到稳态值), 就有

$$\boxed{t_r=\frac{\pi -\arccos \xi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}}}$$

峰值时间 $t_p$

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}c(t)}{\mathrm{d}t}& =\frac{{\omega }_n\exp (-\xi {\omega }_{n}t)}{\sqrt{1-{\xi }^2}}\left[\xi \sin ({\omega }_{d}t+\beta )-\sqrt{1-{\xi }^2}\cos ({\omega }_d+\beta )\right],\beta =\arccos \xi \\ & =\frac{{\omega }_n\exp (-\xi {\omega }_{n}t)}{\sqrt{1-{\xi }^2}}\sin {\omega }_{d}t\end{array}$$

令$\frac{\mathrm{d}c(t)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=t_p}=0$, 得到${\omega }_d{t}_p=k\pi$, 取$k=1$就有

$$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}=\boxed{\frac{\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}}}$$

超调量 $\sigma \%$

$$\sigma \%=\left|\frac{c(t_p)-c(\infty )}{c(\infty )}\right|\times 100\%=\boxed{\exp (-\pi \xi /\sqrt{1-{\xi }^2})\times 100\%}$$

可以发现临界阻尼($\xi =1$)的时候, 就没有超调现象

调节时间 $t_s$

$$\begin{array}{rl}\left|c(t)-c(\infty )\right|& \le \Delta \times c(\infty ),(t\ge t_s)\\ ⟹\left|\frac{1}{\sqrt{1-{\xi }^2}}\exp (-\xi {\omega }_{n}t)\sin ({\omega }_{d}t+\beta )\right|& \le \Delta ,(t\ge t_s)\end{array}$$

这个不等式是很难解的, 我们考虑包络线, 用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定$t_s$, 暂态响应的包络线可以通过去掉振荡项得到

$$c_{\text{envelope}}(t)=1\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\xi }^2}}\exp (-\xi {\omega }_{n}t)$$

考虑不等式

$$\left|c_{\text{envelope}}(t)-c(\infty )\right|\le \Delta \times c(\infty ),(t\ge t_s)$$

可以解得

$$\left|\frac{1}{\sqrt{1-{\xi }^2}}\exp (-\xi {\omega }_{n}t)\right|\le \Delta ,(t\ge t_s)⟹t_s=\frac{-\ln \Delta \sqrt{1-{\xi }^2}}{\xi {\omega }_n}$$

和对应的近似结果

$$\boxed{\{\begin{array}{l}{t}_s=\frac{3.5}{\xi {\omega }_n},\Delta =5\%\\ t_s=\frac{4.5}{\xi {\omega }_n},\Delta =2\%\end{array}}$$

注意到 $\xi$ 小的时候阻尼小, 响应更快, 所以 $t_d,t_r,t_p$ 都变小, 但是振荡的时间反而会变长, 所以 $t_s$ 反而是变大的.

过阻尼

系统 没有 超调量 $\sigma \%$ 和 峰值时间 $t_p$. 延迟时间 上升时间 调节时间

单位脉冲响应

传递函数乘上一个 $s$ , 所以对应的时域响应是单位阶跃响应的一个求导

单位斜坡响应

对应的时域响应是单位阶跃响应的一个积分

带有零点的二阶系统响应

带有一个附加零点的闭环二阶系统为

$$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2(\tau s+1)}{s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

对应的单位阶跃响应是

$$C_Z(s)=\frac{1}{s}\Phi (s)=\left(1+\frac{s}{z}\right)C(s)$$

这里 $C(s)$ 是原始的二阶系统的单位阶跃响应, 所以我们有

$$c_Z(t)=c(t)+\frac{1}{z}\dot{c}(t)$$

加入导数项的效果

• 超调量变大 (零点里虚轴越近, 超调量越大)
• 峰值时间变短

比例微分控制

PD控制是一种常用的反馈控制方法, 它结合了比例 (P) 控制和微分 (D) 控制的优点

• 比例控制 (P): 比例控制器的输出与误差信号成正比. 误差信号是期望值 (设定点) 与实际输出值之间的差. 比例控制能够减小稳态误差, 但单独使用时可能无法完全消除稳态误差, 且响应速度可能较慢.
• 微分控制 (D): 微分控制器的输出与误差信号的变化率成正比. 微分控制能够预测误差的未来趋势, 从而提前进行调整, 提高系统的响应速度和阻尼, 减小超调. 但是，微分控制对噪声非常敏感, 容易放大噪声.

PD控制器的传递函数: (作用于误差项 $e(t)$)

$$G_c(s)=K_p+K_{d}s$$

效果

• 不改变系统的自然频率
• 提高响应速度 (微分)
• 改善阻尼, 增大系统的有效阻尼比 (微分)
• 减小稳态误差 (比例)

比例微分控制的二阶系统有时称为有零点的二阶系统. 与没有零点的二阶系统相比, 由于微分项的原因, 初始快速性提高, 超调量会增大一些, 但整体响应的速度会加快

速度反馈控制

速度反馈控制是一种基于系统输出速度的反馈控制策略, 其控制律为

$$u(t)=K_{p}e(t)-K_v\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}$$

这里 $u(t)$ 是输入, $y(t)$ 是输出.

速度反馈控制通过直接测量系统输出的速度并将其反馈到控制输入中, 从而增加系统的阻尼. 与PD控制不同, 速度反馈控制不需要对误差进行微分, 因此对噪声的敏感性较低

速度误差

速度误差通常指的是输出速度与期望速度之间的差异

$$e_v(t)=\frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}$$

特性	比例微分控制 (PD控制)	速度反馈控制
实现方式	直接使用比例和微分控制器，通常通过运算放大器或数字控制器实现。	需要测量或估计输出速度，并将速度信号反馈到输入端。
噪声敏感性	微分环节对噪声敏感，容易放大高频噪声，需额外滤波。	对速度测量噪声敏感，速度信号不准确会直接影响控制效果，需高精度测量或滤波。
效果	- 提高系统响应速度 - 减小超调 - 改善阻尼 - 减小稳态误差（但不能完全消除）	- 增加系统阻尼 - 提高稳定性 - 减小超调 - 对二阶系统效果显著
适用场景	- 适用于需要快速响应和减小超调的系统 - 适用于噪声较低或已滤波的环境 - 适用于各种阶次的系统	- 适用于二阶系统或需要增加阻尼的场景 - 适用于速度信号易于测量或估计的系统 - 常用于机械、电机等系统

高阶系统的时域分析

高阶系统的阶跃响应

设闭环传递函数为

$$\Phi (s)=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n},m\le n$$

设其可以被分解为

$$\Phi (s)=\frac{b_0}{a_0}\times \frac{{\prod }_{j=1}^m(s+z_j)}{{\prod }_{i=1}^q(s+p_i){\prod }_{k=1}^r(s^2+2{\xi }_k{\omega }_{nk}s+{\omega }_{nk}^2)},q+2r=n$$

式中 $0<{\xi }_k<1$, 即系统有 $q$ 个实极点和 $r$ 对共轭复数极点, 称为系统的 闭环特征根, 或 闭环极点.

设输入为单位阶跃, 则输出为

$$C(s)=\Phi (s)R(s)=\frac{b_0}{a_0}\times \frac{{\prod }_{j=1}^m(s+z_j)}{s{\prod }_{i=1}^q(s+p_i){\prod }_{k=1}^r(s^2+2{\xi }_k{\omega }_{nk}s+{\omega }_{nk}^2)}$$

若极点互不相同

$$C(s)=\frac{A_0}{s}+\sum _{i=1}^q\frac{A_i}{s+p_i}+\sum _{k=1}^r\frac{{\alpha }_k(s+{\xi }_k{\omega }_{nk})+{\gamma }_k\left({\omega }_{nk}\sqrt{1-{\xi }_k^2}\right)}{(s+{\xi }_k{\omega }_{nk}{)}^2+{\left({\omega }_{nk}\sqrt{1-{\xi }_k^2}\right)}^2}$$

设全部初始条件为$0$, 取拉式反变换

$$c(t)=A_0+\sum _{i=1}^q{A}_i{e}^{-p_{i}t}+\sum _{k=1}^r{e}^{-{\xi }_k{\omega }_{nk}t}\left[{\alpha }_k\cos \left({\omega }_{nk}\sqrt{1-{\xi }_k^2}t\right)+{\gamma }_k\sin \left({\omega }_{nk}\sqrt{1-{\xi }_k^2}t\right)\right]$$

对应在时域就是

$$c(t)=A_0+\sum _{i=1}^q{A}_i\exp (-p_{i}t)+\sum _{k=1}^r{B}_k\exp (-{\xi }_k{\omega }_{nk}t)\sin ({\omega }_{dk}t+{\beta }_k)$$

其中

$${\omega }_{dk}={\omega }_{nk}\sqrt{1-{\xi }_k^2},{\beta }_k={\cos }^{-1}{\xi }_k$$

由此可知, 高阶系统的阶跃响应曲线, 是由一些指数曲线和阻尼正弦曲线叠加而成的.

稳定性

如果系统所有闭环极点都具有负实部, 系统时间响应的各暂态分量都将随时间增长而趋近于零, 这时称高阶系统是稳定的.

闭环零, 极点对系统性能的影响

对于时域函数

$$c(t)=A_0+\sum _{i=1}^q{A}_i\exp (-p_{i}t)+\sum _{k=1}^r{B}_k\exp (-{\xi }_k{\omega }_{nk}t)\sin ({\omega }_{dk}t+{\beta }_k)$$

1. 各分量性质, 完全取决于相应极点在$s$平面上的位置

• 极点位于$s$平面左半部, 则该极点对应的动态分量一定衰减;
• 极点位于$s$平面右半部, 则该极点对应的动态分量是渐增的;
• 若极点位于实轴上, 则该分量是非振荡的, 否则是振荡的.

2. 各分量衰减快慢由 $-p_i$ 和 $-{\xi }_k{\omega }_{nk}$ 决定, 即各分量衰减的快慢由闭环极点在$s$平面左半边离虚轴的距离决定

3. 如果所有闭环极点都位于$s$左半平面, 则各留数的相对大小决定了各分量的比重.

• 相距很近的一对零点和极点称为偶极子, 偶极子中的零极点作用相互抵消, 极点上的留数较小
• 距离原点相对很远的极点上的留数通常较小

4. 位于$s$左半平面且远离虚轴的极点, 不仅其留数较小, 衰减速度也快, 持续时间很短, 对系统动态行为影响很小. 在实际工程分析中, 这样的极点可以忽略不计

主导极点

在高阶系统中某一极点或一对共轭复数极点距虚轴的距离是其它极点距虚轴距离的$1/5$ 或更小, 并且附近无闭环零点, 称该极点 (对) 为该高阶系统的主导极点

5. 若所有闭环极点都在$s$左半平面, 所有指数项和阻尼振荡项都随时间增大而趋于零, 则阶跃稳态输出变成: $c(\infty )=K$.

$$\begin{array}{rl}c(\infty )& =\underset{s\to 0}{\lim }s\Phi (s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}\\ & =\frac{b_m}{a_n}=K\end{array}$$

这里的 $K$ 被称为 静态放大倍数 (静态增益)

AI Q&A

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1. 为什么若闭环零、极点离虚轴较远，则对系统的动态性能影响不大。反之，则影响较大？

• 对于闭环极点 ($p_i$ 和 $-{\xi }_k{\omega }_{nk}\pm j{\omega }_{dk}$):

  • 影响的关键在于衰减速度: 观察时域响应 $c(t)$ 中的暂态项: $A_i\exp (-p_{i}t)$ 和 $B_k\exp (-{\xi }_k{\omega }_{nk}t)\sin (\dots )$. 这些项的衰减速度由指数部分的系数 $-p_i$ 和 $-{\xi }_k{\omega }_{nk}$ 决定. 这些系数正是闭环极点的实部.
  • 离虚轴的距离: 一个极点 $s_0$ 离虚轴的距离是 $|\text{Re}(s_0)|$. 对于稳定的极点 (位于 $s$ 左半平面), 其实部为负. 因此, 离虚轴的距离就是其实部的绝对值, 即 $|-p_i|=p_i$ (假设 $p_i>0$) 和 $|-{\xi }_k{\omega }_{nk}|={\xi }_k{\omega }_{nk}$ (假设 ${\xi }_k,{\omega }_{nk}>0$).
  • 距离远 vs 距离近:
    • 离虚轴较远: 这意味着 $p_i$ 或 ${\xi }_k{\omega }_{nk}$ 的值较大. 在 $c(t)$ 的表达式中, $e^{-(\text{大数值})t}$ 这一项会非常快地衰减趋近于零. 此外, 如背景资料 Point 3 和 4 所述, 远离原点/虚轴的极点对应的留数 ($A_i,B_k$) 通常也较小. 这意味着该极点贡献的暂态分量不仅持续时间很短, 而且幅值也可能较小. 因此, 它对系统从初始状态过渡到稳态的整个动态过程 (如上升时间、峰值时间、调节时间) 的影响很小.
    • 离虚轴较近: 这意味着 $p_i$ 或 ${\xi }_k{\omega }_{nk}$ 的值较小. 那么 $e^{-(\text{小数值})t}$ 这一项会衰减得很慢. 这个暂态分量会持续较长时间才消失, 从而在很大程度上决定了系统的动态响应特性 (比如导致调节时间变长). 这就是背景资料中主导极点的概念来源——最靠近虚轴的极点衰减最慢, 对动态性能起决定性作用.

• 对于闭环零点 ($z_j$):

  • 影响方式不同: 零点不直接决定暂态响应项的指数衰减形式或衰减速率, 这些是由极点决定的. 但是, 零点会影响部分分式展开后的系数 (留数), 即 $A_0,A_i,{\alpha }_k,{\gamma }_k$ (进而影响 $B_k$).
  • 零极点对消 (偶极子): 如背景资料 Point 3 提及, 如果一个零点 $z_j$ 非常靠近一个极点 $p_i$ (形成偶极子), 那么该极点 $p_i$ 对应的留数 $A_i$ (或 $B_k$) 会很小. 这意味着即使极点 $p_i$ 本身离虚轴不远 (衰减不快), 它所贡献的那个暂态项的幅值也很小, 因此其对系统动态性能的影响也会减弱.
  • 远离虚轴的零点: 如果一个零点 $z_j$ 离虚轴很远, 它对那些靠近虚轴的主导极点所对应的留数的影响相对较小 (相比于靠近主导极点的零点而言). 因此, 远离虚轴的零点对由主导极点决定的系统主要动态特性的影响也较小. 它的影响更多体现在响应的初始阶段或者改变了不同模态的权重.

总结: 离虚轴远的极点贡献衰减快、幅值小的暂态项; 离虚轴远的零点对主导极点留数影响相对小, 或者与近处极点形成偶极子使该极点作用减弱. 因此它们对系统的整体动态性能影响不大. 反之, 靠近虚轴的极点贡献衰减慢、持续时间长的暂态项, 对动态性能起主导作用, 影响显著.

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2. 为什么增加闭环极点，将会延缓系统的动态响应，也即响应速度变慢。且离虚轴愈近，其作用愈显著？

• 增加极点的影响: 当系统增加闭环极点时 (即传递函数分母的阶数 $n$ 增加), 在时域响应 $c(t)$ 的求和式中就会增加新的暂态项.

  $$c(t)=A_0+\underset{\text{原有暂态项}}{\underbrace{\sum A_i{e}^{-p_{i}t}+\sum B_k{e}^{-{\xi }_k{\omega }_{nk}t}\sin (\dots )}}+\underset{\text{由新增极点产生}}{\underbrace{\text{新增暂态项}}}$$

• 延缓响应: 系统的响应速度通常用上升时间、峰值时间、调节时间等指标衡量. 这些指标描述的是系统从初始状态达到并维持在稳态值附近所需的时间. 新增的暂态项也是从 $t=0$ 开始衰减的函数. 即使原来的系统响应很快 (原有暂态项衰减很快), 新增的暂态项也需要时间衰减到足够小, 才能让总响应 $c(t)$ 稳定在 $A_0$ 附近. 这个叠加的衰减过程相当于在原有响应上叠加了一个额外的延迟或拖尾, 使得总响应达到稳态需要更长的时间. 因此, 增加了系统的 "惰性", 动态响应被延缓, 响应速度变慢.

• 离虚轴愈近，作用愈显著:

  • 这回到了第一个问题的核心: 暂态项的衰减速度由极点离虚轴的距离决定.
  • 如果新增的极点离虚轴很近, 那么它对应的暂态项 $e^{-(\text{小数值})t}$ 衰减非常慢. 这个缓慢衰减的项会长时间存在, 对总响应 $c(t)$ 产生持续的影响, 显著增加系统达到稳态所需的时间 (特别是调节时间).
  • 如果新增的极点离虚轴很远, 它对应的暂态项 $e^{-(\text{大数值})t}$ 衰减非常快. 这个项很快就消失了, 对系统整体动态响应的拖延作用很小, 几乎不改变原系统的主要动态特性.

总结: 增加闭环极点会引入额外的暂态过程. 这个过程叠加在原有响应上, 使得系统需要更长时间才能稳定下来, 从而延缓响应. 如果新增的极点靠近虚轴, 其对应的暂态过程衰减很慢, 这种延缓作用就特别明显; 反之, 如果新增极点远离虚轴, 其暂态过程衰减很快, 延缓作用则不明显.