仿射变换
设是线性同构,是一个固定的向量. 映射
称为上一个由和定义的仿射变换,其中称为的平移向量
当时恒同映射时,称为平移变换
性质
- 仿射变换的复合也是仿射变换
- 仿射变换可逆,且其逆也是仿射变换
这两点说明上所有仿射变换关于构成群
上的仿射变换
即
其中
二次曲面
设的次数等于,其齐次部分记为. 把看成到的函数,看成相应的二次型. 则存在上的仿射变换使得
其中是的签名 , 且
设ϕ:V→V是线性同构,v∈V是一个固定的向量. 映射
ρ:Vx→V→ϕ(x)+v称为V上一个由ϕ和v定义的仿射变换,其中v称为ρ的平移向量
当ϕ时恒同映射时,ρ称为平移变换
这两点说明V上所有仿射变换关于∘构成群
即
ρ:Rnx1⋮xn→Rn→Ax1⋮xn+v1⋮vn其中A∈GLn(R)
设p∈R[x1,…,xn]的次数等于2,其齐2次部分记为h2. 把p看成Rn到R的函数,h2看成相应的二次型. 则存在Rn上的仿射变换ρ使得
p∘ρ:Rnx=x1⋮xn→R→x12+⋯xk2−xk+12−⋯−xk+l2−λxk+l+1−μ其中(k,l)是h2的签名 , λ∈{0,1}且μ∈R