Affine Transformation

仿射变换

设$\varphi :V\to V$是线性同构, $\mathbf{v}\in V$是一个固定的向量. 映射

$$\begin{array}{rl}\rho :V& \to V\\ \mathbf{x}& \to \varphi (\mathbf{x})+\mathbf{v}\end{array}$$

称为$V$上一个由$\varphi$和$\mathbf{v}$定义的仿射变换, 其中$\mathbf{v}$称为$\rho$的平移向量

当$\varphi$时恒同映射时, $\rho$称为平移变换

性质

• 仿射变换的复合也是仿射变换
• 仿射变换可逆, 且其逆也是仿射变换

这两点说明$V$上所有仿射变换关于$\circ$构成群

${\mathbb{R}}^n$上的仿射变换

即

$$\begin{array}{rl}\rho :{\mathbb{R}}^n& \to {\mathbb{R}}^n\\ \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)& \to A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)\end{array}$$

其中$A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$

二次曲面

设$p\in \mathbb{R}[x_1,\dots ,x_n]$的次数等于$2$, 其齐$2$次部分记为$h_2$. 把$p$看成${\mathbb{R}}^n$到$\mathbb{R}$的函数, $h_2$看成相应的二次型. 则存在${\mathbb{R}}^n$上的仿射变换$\rho$使得

$$\begin{array}{rl}p\circ \rho :{\mathbb{R}}^n& \to \mathbb{R}\\ \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)& \to x_1^2+\cdots x_k^2-x_{k+1}^2-\cdots -x_{k+l}^2-\lambda x_{k+l+1}-\mu \end{array}$$

其中$(k,l)$是$h_2$的签名 , $\lambda \in \{0,1\}$且$\mu \in \mathbb{R}$