Real Quadratic Forms

设$V$是$\mathbb{R}$上的$n$维线性空间, $V$上所有二次型 的集合记为$\mathcal{Q}(V)$

惯性定理 (Sylvester)

设$q$是$V$上的二次型. 则存在$q$的一组规范基${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$使得在该基下$q$的矩阵为

$$\left(\begin{array}{ccc}{E}_k& O& O\\ O& -E_{\ell }& O\\ O& O& O\end{array}\right)$$

且$k+\ell =\mathrm{rank}(q)$. 进而, 如果$q$在另一组规范基下的矩阵是

$$\left(\begin{array}{ccc}{E}_s& O& O\\ O& -E_t& O\\ O& O& O\end{array}\right)$$

则$s=k,t=\ell$

这里之所以会出现负号是因为负实数的不可开方性质

由此, 我们称$k$是$A$的正惯性指数, $\ell$是$A$的负惯性指数, 并称$(k,\ell )$为$A$的签名, 且这两个惯性指数的和为矩阵的秩

Tip

如果$A$的正惯性指数是$k$, 那么必然存在一个$k$维的$V$的子空间$W$使得$q{|}_W$恒正（除去零向量）

对于$A,B\in {\mathrm{SM}}_n(\mathbb{R})$, 则$A{\sim }_{c}B$当且仅当$A,B$有共同的签名

一个特殊的实二次型

设

$$\begin{array}{rl}q:{\mathrm{M}}_n(\mathbb{R})& \to \mathbb{R}\\ A& \to \mathrm{tr}(A^2)\end{array}$$

其中$\mathrm{tr}A$表示$A$的迹 则$q$是二次型, 且它的签名是

$$\left(\frac{n(n+1)}{2},\frac{n(n-1)}{2}\right)$$

（半）正定二次型

设$q$是$V$上的二次型

• 如果对$\forall \mathbf{x}\in V,q(\mathbf{x})\ge 0$,则称$q$是半正定的
• 如果对$\forall \mathbf{x}\in V\backslash \{0\},q(\mathbf{x})>0$,则称$q$是正定的
• 如果对$\forall \mathbf{x}\in V,q(\mathbf{x})\le 0$,则称$q$是半负定的
• 如果对$\forall \mathbf{x}\in V\backslash \{0\},q(\mathbf{x})<0$,则称$q$是负定的
• 如果$q$既不是半正定也不是半负定的, 则称$q$是不定的

设$\dim (V)=n$且$q$是$V$上的二次型, 它的签名是$(k,\ell )$, 则

• $q$是半正定的$⟺\ell =0$
• $q$是正定的$⟺k=n$
• $q$是半负定的$⟺k=0$
• $q$是负定的$⟺\ell =n$
• $q$是不定的$⟺k>0,l>0$

半正定, 正定, 半负定, 负定二次型分别有下列规范型

$$x_1^2+\cdots +x_k^2,x_1^2+\cdots +x_n^2,-x_1^2-\cdots -x_l^2,-x_1^2-\cdots -x_n^2$$

类似地, 对于$\forall A\in {\mathrm{SM}}_n(\mathbb{R})$, 可类似定义矩阵的正定性

锥面

设$q\in \mathcal{Q}(V)$, 定义

$$C_q=\{\mathbf{v}\in V\mid q(\mathbf{v})=0\}$$

则称$C_q$为$q$确定的锥面

设$q\in \mathcal{Q}(V)$. 则$C_q$是$V$的子空间当且仅当$q$是半正定或半负定的

（半）正定矩阵的等价条件

实数域的一个基本性质是: 设$x_1,\cdots ,x_n\in \mathbb{R}$. 则

$$x_1^2+\cdots +x_n^2\ge 0;x_1^2+\cdots +x_n^2=0⟹x_1=\cdots =x_0=0$$

于是, 设

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$$

则有

$${\mathbf{x}}^t\mathbf{x}\ge =0;{\mathbf{x}}^t\mathbf{x}=0⟹\mathbf{x}=0$$

设$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$. 则$A^{t}A\in {\mathrm{SM}}_n(\mathbb{R})$半正定且$\mathrm{rank}(A^{t}A)=\mathrm{rank}(A)$

（半）正定矩阵的等价条件

设$A\in {\mathrm{SM}}_n(\mathbb{R})$. 则

• $A$半正定当且仅当存在$B\in {\mathrm{M}}_n(\mathbb{R})$使得$A=B^{t}B$
• $A$正定当且仅当存在$B\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$使得$A=B^{t}B$

这里利用了

$$\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$$

若$A$是正定矩阵, 那么$\det (A)>0$且$A^{-1}$也正定

算子的情况

利用谱分解定理, 我们知道若$\mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)$是半正定算子, 则存在唯一的半正定算子$\mathcal{B}$使得${\mathcal{B}}^2=\mathcal{A}$且$\mathcal{B}\in \mathbb{R}[\mathcal{A}]$

事实上, 如果$\mathcal{A}$的谱分解有如下形式

$$\mathcal{A}={\lambda }_1{\pi }_1+\cdots +{\lambda }_k{\pi }_k$$

则对应的$\mathcal{B}$为

$$\mathcal{B}=\sqrt{{\lambda }_1}{\pi }_1+\cdots +\sqrt{{\lambda }_k}{\pi }_k$$

Jacobi公式

设$A\in {\mathrm{SM}}_n(F)$. 设${\Delta }_0=1,{\Delta }_i$是$A$中第$1\sim i$行和$1\sim i$列构成的对称矩阵的行列式（也就是顺序主子式）, 则

$$A{\sim }_c\mathrm{diag}\left(\frac{{\Delta }_1}{{\Delta }_0},\frac{{\Delta }_2}{{\Delta }_1},\dots ,\frac{{\Delta }_n}{{\Delta }_{n-1}}\right)$$

和正定矩阵的关系

设${\Delta }_k$是$A$的$k$阶顺序主子式, $k=1,2,\dots ,n$. 则下列命题等价

1. $A$正定
2. $A$的任何$k$阶主子式 都大于$0$
3. ${\Delta }_1>0,\dots ,{\Delta }_n>0$

负定(Negative Definite)的情况

如果$A$是负定的, 那么$-A$是正定的, 考虑到$\det (-A)=(-1{)}^n\det A$, 此时$A$的顺序主子式需要满足${\Delta }_1<0,{\Delta }_2>0,{\Delta }_3<0,{\Delta }_4>0,\dots$

Hadamard 不等式

设$A\in {\mathrm{SM}}_n(\mathbb{R})$正定. 则$\det (A)$不大于$A$的对角线上元素之积, 即

$$\left|\det (A)\right|\le \mathrm{tr}A$$

于是有Hadamard不等式

$$\left|\det (A)\right|\le \sqrt{\prod _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}^2},\left|\det (A)\right|\le \sqrt{\prod _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{j,i}^2}$$