Analytical Geometry in Space

空间坐标系和空间向量

两点间距离

$$\rho =\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$$

空间向量

方向余弦

设$P_0(x_0,y_0,z_0),P(x,y,z)$则有

$$\cos \alpha =\frac{x-x_0}{\left|\overrightarrow{P_{0}P}\right|},\cos \beta =\frac{y-y_0}{\left|\overrightarrow{P_{0}P}\right|},\cos \gamma =\frac{z-z_0}{\left|\overrightarrow{P_{0}P}\right|}$$

内积

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2$$

外积

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right|$$

满足

$$\left|\vec{a}\times \vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin ⟨\vec{a},\vec{b}⟩$$

空间平面

平面方程

点法式方程

已知一平面$\Pi$通过已知点$M_0(x_0,y_0,z_0)$且垂直于非零向量$\vec{n}=(A,B,C)$, 则$\Pi$的方程为

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

三点式方程

平面$\Pi$通过三个点$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3)$, 则$\Pi$的方程为

$$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$$

截距式方程

平面$\Pi$和三坐标轴的交点分别为$(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$时, $\Pi$的方程为

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1(a,b,c\ne 0)$$

一般方程

即三元一次方程

$$Ax+By+Cz+D=0(A^2+B^2+C^2\ne 0)$$

当$D=0$时, 平面通过原点 当$A=0$时, 平面平行于$x$轴 当$B=0$时, 平面平行于$y$轴 当$C=0$时, 平面平行于$z$轴

平面夹角

设平面${\Pi }_1$的法向量为${\vec{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$, 平面${\Pi }_2$的法向量为${\vec{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$, 则两平面夹角$\theta$的余弦为

$$\cos \theta =\frac{\left|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2\right|}{\left|{\vec{n}}_1\right|\left|{\vec{n}}_2\right|}$$

特别地, ${\Pi }_1\perp {\Pi }_2⟺{\vec{n}}_1\perp {\vec{n}}_2$且${\Pi }_1\parallel {\Pi }_2⟺{\vec{n}}_1\parallel {\vec{n}}_2$

空间直线

直线方程

一般式方程

直线可视为两平面交线, 故其一般式方程

$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

对于某一直线, 其一般式方程不唯一

对称式方程

直线上一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$和它的方向向量$\vec{s}=(m,n,p)$可确定该直线的方程

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

对称式方程也称为点向式方程

在空间的情况用对称式方程而不是用两个平面的点斜式方程联立

参数式方程

由对称式方程可直接得到

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}$$

线面间位置关系

两直线夹角

就是两直线的方向向量的夹角

$$\cos \phi =\frac{\left|{\vec{s}}_1\cdot {\vec{s}}_2\right|}{\left|{\vec{s}}_1\right|\left|{\vec{s}}_2\right|}$$

直线和平面的夹角

就是直线的方向向量和平面的法向量的夹角的余角

$$\sin \phi =\frac{\left|\vec{s}\cdot \vec{n}\right|}{\left|\vec{s}\right|\left|\vec{n}\right|}$$

曲面

曲面方程

如果曲面$S$与方程$F(x,y,z)=0$有下述关系:

1. 曲面$S$上的任意点的坐标都满足此方程
2. 不在曲面$S$上的点的坐标不满足次方程 则$F(x,y,z)=0$称为曲面$S$的方程, 曲面$S$称为方程$F(x,y,z)=0$的图形

旋转曲面

一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴

当旋转轴为$z$轴时, 旋转曲面方程有如下形式

$$f(\sqrt{x^2+y^2},z)=0$$

柱面

沿定曲线$C$移动的直线$l$形成的轨迹叫做柱面, 其中$C$叫做准线, $l$叫做母线

方程$F(x,y)=0$表示母线平行于$z$轴, 准线在$xOy$面上的柱面 方程$F(y,z)=0$表示母线平行于$x$轴, 准线在$uOz$面上的柱面 方程$F(x,z)=0$表示母线平行于$y$轴, 准线在$xOz$面上的柱面

椭球面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a,b,c>0)$$

空间曲线

方程

一般方程

空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$$

空间曲线在坐标面上的投影

设一般方程为

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

消去$z$得到投影柱面$H(x,y)=0$ 则$C$在$xOy$面上的投影曲线$C^{\prime }$为

$$\{\begin{array}{l}H(x,y)=0\\ z=0\end{array}$$

消去$x$得$C$在$yOz$面上的投影曲线方程

$$\{\begin{array}{l}R(y,z)=0\\ x=0\end{array}$$

消去$y$得$C$在$xOz$面上的投影曲线方程

$$\{\begin{array}{l}T(x,z)=0\\ y=0\end{array}$$

曲面所围区域

确定空间区域在$xy$平面上的投影区域

1. 区域侧面是母线平行于$z$轴的柱面, 则此时在$xy$平面上的投影方程和该柱面有相同的形式
2. 区域由一个特殊的封闭曲面（如椭球面）所围成, 则此时只需要用平面$z=c$去截这个曲面, 其中“最大”截痕的方程就是投影区域的边界方程
3. 区域由几个特殊曲面围成, 则从方程中消去变量$z$通常就得到投影区域的边界方程

由曲面方程确定曲面的形状

截痕法: 确定交线的投影曲线, 即在方程中分别令$x=a,y=b,z=c$, 看得到什么样的曲线