Differential of Multivariable Functions

多元函数的微分

偏导数

$f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$, 或者记成$f_x,f_y$, 被定义为

$$\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\right]\\ \frac{\partial f}{\partial y}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\left[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\right]\end{array}$$

全微分

设$D\subset {\mathbb{R}}^n$为开集, 有函数$f:D\to \mathbb{R}$. 设${\mathbf{x}}^0=(x_1^0,\dots ,x_n^0{)}^t\in D$. 如果存在$\mathbf{a}\in {\mathbb{R}}^n$使得对于$x^0$附近的点$x$, 有

$$\Vert f(x)-\left[f(x^0)+\mathbf{a}\cdot (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^0)\right]\Vert =o(\Vert \mathbf{x}-{\mathbf{x}}^0\Vert ),\mathbf{x}\to {\mathbf{x}}^0$$

则称$f$在${\mathbf{x}}^0$处可微

如果$f$是在某个定义域内可微, 那么在这个定义域内有

$$\mathrm{d}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i$$

这样的形式称为全微分

可微的必要条件

可微$⟹$偏导数存在, 对于一般情况参考映射的微分

可微的充分条件

偏导数都存在 且 $f_x,f_y,f_z$在点$(x_0,y_0,z_0)$连续$⟹$函数$f$在点$(x_0,y_0,z_0)$可微 但是反过来不一定成立

注意, 函数在可微点一定连续, 但是函数的连续点不一定存在偏导数, 且函数存在偏导数的点也不一定连续, 因为连续性是全局的性质, 而偏导数只能反映函数沿特点的性质, 即

• 局部: 偏导数
• 全局: 全微分、连续性

二元函数的中值定理

设函数$f$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内存在偏导数, 若$(x,y)$属于该邻域, 则存在$\xi =x_0+{\theta }_1(x-x_0)$, $\eta =y_0+{\theta }_2(y-y_0)$ , $0<{\theta }_1,{\theta }_2<1$使得

$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(\xi ,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,\eta )(y-y_0)$$

可微性几何意义

一元函数可微, 在几何上反映为存在不平行$y$轴的切线, 类似地, 对于二元函数来说, 可微性则反映为曲面和其切平面之间的关系

Note

设$P$是曲面$S$上一点, $\Pi$是通过点$P$的一个平面, 曲面$S$上的动点$Q$到顶点$P$和到平面$\Pi$的距离分别为$s$和$h$. 若当$Q$在$S$上以任何方式趋近于$P$时, 恒有$\frac{h}{d}\to 0$, 则称平面$\Pi$为曲面$S$在$P$处的切平面, $P$为切点

• 求切平面常用$(\mathbf{v}-{\mathbf{v}}_0)\cdot \mathbf{n}=0$
• 求法线常用对称式方程, 即$\frac{x-x_0}{n_x}=\frac{y-y_0}{n_y}=\frac{z-z_0}{n_z}$
• 一种常用的取法向量的方法是取$n_x=f_x(x_0,y_0),n_y=f_y(x_0,y_0),n_z=-1$于是它对应的切平面就是$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

于是, $f(x,y)$上某点存在不平行于$z$轴的切平面的充要条件是$f$在$(x_0,y_0)$可微

全微分和近似计算

例子 求$1.08^{3.96}$的近似值 设$f(x,y)=x^y$, 则有

$$\begin{array}{rl}1.08^{3.96}& =f(1+0.08,4-0.04)\\ & \approx f(1,4)+f_x(1,4)\times 0.08+f_y(1,4)\times (-0.04)\\ & =1.32\end{array}$$

例子 求使用$S=\frac{1}{2}ab\sin C$计算三角形面积时的绝对误差限和相对误差限

$$\begin{array}{rl}|\Delta S|& \approx |\mathrm{d}S|=\left|\frac{\partial S}{\partial a}\Delta a+\frac{\partial S}{\partial b}\Delta b+\frac{\partial S}{\partial C}\Delta C\right|\\ & \le \left|\frac{\partial S}{\partial a}\right||\Delta a|+\left|\frac{\partial S}{\partial b}\right||\Delta b|+\left|\frac{\partial S}{\partial C}\right||\Delta C|\\ & =\frac{1}{2}\left|b\sin C\right||\Delta a|+\frac{1}{2}\left|a\sin C\right||\Delta b|+\frac{1}{2}\left|ab\cos C\right||\Delta C|\end{array}$$

相对误差限为$\left|\frac{\Delta S}{S}\right|$

复合函数的微分

链式法则

若函数$x=\varphi (s,t),y=\psi (s,t)$在点$(s,t)\in D$可微, $z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微, 则复合函数

$$z=f(\varphi (s,t),\psi (s,t))$$

在点$(s,t)$可微, 且它关于$s,t$的偏导数分别为

$$\begin{array}{r}\frac{\partial z}{\partial s}{|}_{(s,t)}=\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x,y)}\frac{\partial x}{\partial s}{|}_{(s,t)}+\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(x,y)}\frac{\partial y}{\partial s}{|}_{(s,t)}\\ \frac{\partial z}{\partial t}{|}_{(s,t)}=\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x,y)}\frac{\partial x}{\partial t}{|}_{(s,t)}+\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(x,y)}\frac{\partial y}{\partial t}{|}_{(s,t)}\end{array}$$

并可推广到$n$元函数的场景；并且, 由此亦可推导出$f$的全微分

多元函数的全微分形式不变性

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=\frac{\partial z}{\partial s}\mathrm{d}s+\frac{\partial z}{\partial t}\mathrm{d}t$$

只要$(x,y)$或者$(s,t)$能够完全表达$z$

方向导数和梯度

方向导数

设三元函数$f$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某邻域$U(P_0)\in {\mathbb{R}}^3$有定义, $\mathbf{l}$是从$P_0$出发的射线, $P(x,y,z)$是$\mathbf{l}$上含于$U(P_0)$的任一点, 以$\rho$表示$P,P_0$之间的距离. 若极限

$$\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\frac{f(P)-f(P_0)}{\rho }$$

存在, 则称此极限为$f$在点$P_0$沿方向$\mathbf{l}$的方向导数, 记作

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0},f_l(P_0),f_l(x_0,y_0,z_0)$$

若函数$f$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$可微, 则$f$在点$P_0$沿任一方向$\mathbf{l}$的方向导数恰为

$$f_l(P_0)=f_x(P_0)\cos \alpha +f_y(P_0)\cos \beta +f_z(P_0)\cos \gamma$$

其中$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$为方向$\mathbf{l}$的方向余弦

$$\cos \alpha =\frac{l_x}{|\mathbf{l}|},\cos \beta =\frac{l_y}{|\mathbf{l}|},\cos \gamma =\frac{l_z}{|\mathbf{l}|}$$

梯度

若$f(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$存在对所有自变量的偏导数, 则称向量$(f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0))$为函数$f$在点$P_0$的梯度, 记作

$$\nabla f=(f_x,f_y,f_z)$$

由此, 得到$f$在方向$\mathbf{l}$上的方向导数为

$$f_l(P_0)=\nabla f(P_0)\cdot \frac{\mathbf{l}}{|\mathbf{l}|}$$