设循环矩阵
A=a0an−1an−2⋮a1a1a0an−1⋮a2⋯⋯⋯⋱⋯an−2an−3an−4⋮an−1an−1an−2an−3⋮a0∈Mn(R)设ϵk=en2kπik=0,⋯,n−1, 令
f=a0+a1x+⋯+an−2xn−2+an−1xn−1∈C[x]于是利用ϵkn=1有
f(ϵk)ϵkf(ϵk)ϵkn−1f(ϵk)=a0+a1ϵk+⋯+an−2ϵkn−2+an−1ϵkn−1=an−1+a0ϵk+⋯+an−3ϵkn−2+an−2ϵkn−1⋮=a1+a2ϵk+⋯+an−1ϵkn−2+a0ϵkn−1可以写成矩阵形式
f(ϵk)=1ϵk⋮ϵkn−1=A1ϵk⋮ϵkn−1设
V=1ϵ0⋮ϵ0n−11ϵ1⋮ϵ1n−1⋯⋯⋱⋯1ϵn⋮ϵn−1n−1则Vdiag(f(ϵ0),⋯,f(ϵn−1))=AV. 由Vandermonde行列式知V可逆, 于是
A=Vdiag(f(ϵ0),⋯,f(ϵn−1))V−1两边取行列式有
detA=f(ϵ0)⋯f(ϵn−1)