Coordinate Transformation

坐标

设${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$是$V$的一组基，对任意的$\mathbf{x}\in V$，存在唯一的$x_1,\cdots ,x_n\in F$使得

$$\mathbf{x}=x_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{v}}_n$$

则称$(x_1,\cdots ,x_n{)}^t$是$x$在基底${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$的坐标

坐标变换

设${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$是$V$的一组基，${\mathbf{e}}_1^{\prime },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime }\in V.$ 则${\mathbf{e}}_1^{\prime },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime }$是$V$的一组基当且仅当存在唯一的$P\in {\mathrm{GL}}_n(F)$使得

$$({\mathbf{e}}_1^{\prime },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime })=({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n)P$$

并称$P$是转换矩阵 (${\mathrm{GL}}_n(F)$参考一般线性群)

由此得到坐标变换

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)$$

注意

基底变换是基底矩阵右乘转换矩阵；而坐标变换是左乘转换矩阵的逆矩阵