定义
设
如果对满足
和
则称是上的双线性型
有如下性质
同理有
例子
- 欧式空间上的内积
- 积性线性函数:
矩阵表示
和线性映射类似, 确定一个双线性型只需要知道它在各个基底下的值
设的一组基为, 是上的双线性型, 则存在唯一的矩阵使得对
我们有
事实上. 称是在下的矩阵表示, 又称为在这组基下的度量矩阵. 反过来, 任一个阶矩阵都对应了一个双线性函数
这个矩阵称为此双线性型的Gram矩阵
坐标变换
考虑坐标变换 假设双线性型在的两组基底和下的矩阵分别是和,且有
则
小结
基底变换:
- 由此对应的向量的坐标变换
- 由此对应的双线性型的矩阵变换
合同关系
设. 如果存在使得, 则称合同于,记为
合同关系是一个等价关系
一个双线性型在不同基底下的矩阵是合同的. 而两个彼此合同的矩阵一定是一个双线性型在不同基底下的矩阵. 于是, 研究双线性型等价于研究方阵在合同意义下的等价类. 利用矩阵的语言, 我们所要研究的问题是: 含有多少不同的等价类? 在每个等价类中可否找出一个“标准” 的代表元? 这个代表矩阵应该尽可能简单, 也就是说应该含有尽可能多个, 而非零元素出现的位置应该尽可能有规律.
合同关系的不变量
设 若, 则, 这是因为可逆矩阵是满秩的
于是有以下命题成立:
- 设是上的双线性型, 是在的某组基下的矩阵, 则的秩定义为, 记为
合同关系保持对称和斜对称性. 设 (斜)对称, 且, 则也(斜)对称
对称双线性型
设是上的双线性型, 如果对, , 则称是对称双线性型
空间上所有对称双线性型组成的集合记为
基底的对称性
设是上的双线性型, 是的一组基, 是在下的矩阵. 则是对称的当且仅当是对称的
极化公式
设的特征不等于且. 则对于
规范基
设的特征不等于且. 则中有一组基使得在该基下的矩阵是对角阵
设, 在的基底下的矩阵是对角阵. 则称是的一组规范基.
且有
设双线性型在一组规范基下的矩阵为, 则
设且. 则存在的一组规范基使得在该基下的矩阵为
其中
设. 则存在中非零元素使得
对称矩阵和对角阵的合同性
设的特征不等于, . 则合同 于一个对角阵, 这个对角阵并不是唯一的
- 当时结论显然成立, 故采用归纳法, 假设维数小于时上述结论成立
- 若恒为的结论显然成立. 若存在一组, 则此时必然存在使得. 不然由极化公式 将恒等于
- 令, 现在证明
- 容易看出是直和, 故我们只需要证明
- 一方面, 故
- 另一方面, 故
- 于是, 由对偶定理 得
- 设满足, 由归纳条件, 存在的一组基使得有, 由于我们已经证明了直和分解, 即为的一组基.
- 又由的定义, . 再由对称性反过来也成立. 于是有. 归纳假设对也成立
合同对角化方法
求kernel
采用上面的证明过程, 将上的合同对角化问题转化为上的合同对角化问题
行列相伴
目标是找到一个可逆矩阵使得
其中是对称矩阵, 是对角矩阵 而总可以写成一系列初等矩阵的积, 故我们需要找到
又因为矩阵乘法满足结合律, 故可以先计算, 再计算 即每次先进行一次对应的行变换, 紧接着进行对应的行变换, 这就是所谓的行列相伴
对于第一类和第二类初等变换, 可以验证 而对于第三类初等变换, 有
会把被加的行(列)号变成另外一个 但是, 如果转置后再使用右乘, 仍然是的效果
由此, 我们可以构造分块矩阵, 不断对其进行如上行列相伴的变换, 直到变成对角矩阵, 此时的就会变换成我们需要的那个
配方法
见二次型
复数域上的平凡解
设则
这里相应的为