Bilinear Form

定义

设

$$\begin{array}{rl}f:V\times V& \to F\\ (\mathbf{x},\mathbf{y})& \to f(\mathbf{x},\mathbf{y})\end{array}$$

如果对$\forall \alpha ,\beta \in F,\mathbf{z}\in V$满足

$$f(\alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{z},\mathbf{y})=\alpha f(\mathbf{x},\mathbf{y})+\beta f(\mathbf{z},\mathbf{y})$$

和

$$f(\mathbf{x},\alpha \mathbf{y}+\beta \mathbf{z})=\alpha f(\mathbf{x},\mathbf{y})+\beta f(\mathbf{x},\mathbf{z})$$

则称$f$是$V$上的双线性型

有如下性质

$$f(\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{x}+\mathbf{y})=f(\mathbf{u},\mathbf{x})+f(\mathbf{u},\mathbf{y})+f(\mathbf{v},\mathbf{x})+f(\mathbf{v},\mathbf{y})$$ $$f(\alpha \mathbf{x},\beta \mathbf{y})=\alpha \beta f(\mathbf{x},\mathbf{y})$$ $$f(0,\mathbf{y})=f(0+0,\mathbf{y})=f(0,\mathbf{y})+f(0,\mathbf{y})⟹f(0,\mathbf{y})=0$$

同理有$f(\mathbf{x},0)=0$

例子

• 欧式空间$V$上的内积
• 积性线性函数：$f(\mathbf{x},\mathbf{y})=f_1(\mathbf{x})f_2(\mathbf{y})$

矩阵表示

和线性映射类似，确定一个双线性型只需要知道它在各个基底下的值

设$V$的一组基为${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$, $f$是$V$上的双线性型，则存在唯一的矩阵$A\in {\mathrm{M}}_n(F)$使得对

$$\forall \mathbf{x}=({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathbf{y}=({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$$

我们有

$$f(\mathbf{x},\mathbf{y})=(x_1,\cdots ,x_n)A\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$$

事实上$A=(f({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_j){)}_{n\times n}$. 称$A$是$f$在${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$下的矩阵表示，又称为在这组基下的度量矩阵. 反过来，任一个$n$阶矩阵$A$都对应了一个双线性函数

这个矩阵$A$称为此双线性型的Gram矩阵

坐标变换

考虑坐标变换 假设双线性型$f$在$V$的两组基底${\mathbf{e}}_1\cdots ,{\mathbf{e}}_n$和${\mathbf{ϵ}}_1,\cdots ,{\mathbf{ϵ}}_n$下的矩阵分别是$A$和$B$,且有

$$({\mathbf{ϵ}}_1,\cdots ,{\mathbf{ϵ}}_n)=({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n)P$$

则

$$B=P^{t}AP$$

小结

基底变换：$({\mathbf{ϵ}}_1,\cdots ,{\mathbf{ϵ}}_n)=({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n)P$

• 由此对应的向量的坐标变换$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$
• 由此对应的双线性型的矩阵变换$B=P^{t}AP$

合同关系

设$A,B\in M_n(F)$. 如果存在$P\in {\mathrm{GL}}_n(F)$使得$B=P^{t}AP$, 则称$B$合同于$A$,记为$B{\sim }_{c}A$

合同关系是一个等价关系

一个双线性型在不同基底下的矩阵是合同的. 而两个彼此合同的矩阵一定是一个双线性型在不同基底下的矩阵. 于是, 研究双线性型等价于研究方阵在合同意义下的等价类. 利用矩阵的语言, 我们所要研究的问题是: ${\mathrm{M}}_n(F)/{\sim }_c$ 含有多少不同的等价类？在每个等价类中可否找出一个“标准” 的代表元? 这个代表矩阵应该尽可能简单，也就是说应该含有尽可能多个$0$, 而非零元素出现的位置应该尽可能有规律.

合同关系的不变量

设$A,B\in {\mathrm{M}}_n(F)$ 若$A{\sim }_{c}B$, 则$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B)$, 这是因为可逆矩阵$P$是满秩的

于是有以下命题成立：

• 设$f$是$V$上的双线性型，$A$是$f$在$V$的某组基下的矩阵，则$f$的秩定义为$\mathrm{rank}(A)$, 记为$\mathrm{rank}(f)$

合同关系保持对称和斜对称性. 设$A\in {\mathrm{M}}_n(F)$ (斜)对称，且$A{\sim }_{c}B$, 则$B$也(斜)对称

对称双线性型

设$f$是$V$上的双线性型，如果对$\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in V$，$f(\mathbf{x},\mathbf{y})=f(\mathbf{y},\mathbf{x})$，则称$f$是对称双线性型

空间$V$上所有对称双线性型组成的集合记为${\mathcal{L}}_2^{+}(V)$

基底的对称性

设$f$是$V$上的双线性型，${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$是$V$的一组基，$A$是$f$在${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$下的矩阵. 则$f$是对称的当且仅当$A$是对称的

极化公式

设$F$的特征不等于$2$且$f\in {\mathcal{L}}_2^{+}(V)$. 则对于$\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in V$

$$f(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{1}{2}\left(f(\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{x}+\mathbf{y})-f(\mathbf{x},\mathbf{x})-f(\mathbf{y},\mathbf{y})\right)$$

规范基

设$F$的特征不等于$2$且$f\in {\mathcal{L}}_2^{+}(V)$. 则$V$中有一组基使得$f$在该基下的矩阵是对角阵

设$f\in {\mathcal{L}}_2^{+}(V)$, $f$在$V$的基底${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$下的矩阵是对角阵. 则称${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$是$f$的一组规范基.

且有

$$f({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_j)=0,i\ne j\in [n]$$

设双线性型$f$在一组规范基下的矩阵为$\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$, 则

$$f(\mathbf{x},\mathbf{y})={\lambda }_1{x}_1{y}_1+\cdots +{\lambda }_n{x}_n{y}_n$$

设$f\in {\mathcal{L}}_2^{+}(V)$且$r=\mathrm{rank}(f)$. 则存在$V$的一组规范基使得$f$在该基下的矩阵为

$$\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r,0,\cdots ,0)$$

其中${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r\in F\backslash \{0\}$

设$A\in {\mathrm{SM}}_n(F),\mathrm{rank}(A)=r$. 则存在$F$中非零元素${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r$使得$A{\sim }_c\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r,0,\cdots ,0)$

对称矩阵和对角阵的合同性

设$F$的特征不等于$2$, $A\in {\mathrm{SM}}_n(F)$. 则$A$合同 于一个对角阵，这个对角阵并不是唯一的

• 当$n=1$时结论显然成立，故采用归纳法，假设维数小于$n$时上述结论成立
• 若$f(\mathbf{x},\mathbf{y})$恒为$0$的结论显然成立. 若存在一组$f(\mathbf{x},\mathbf{y})\ne 0$，则此时必然存在${\mathbf{e}}_1$使得$f({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_1)\ne 0$. 不然由极化公式 $f(\mathbf{x},\mathbf{y})$将恒等于$0$
• 令$W=\ker (f(\mathbf{x},{\mathbf{e}}_1))$，现在证明$V=⟨{\mathbf{e}}_1⟩\oplus W$
  • 容易看出$⟨{\mathbf{e}}_1⟩+W$是直和，故我们只需要证明$\dim (W)=n-1$
  • 一方面$f({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_1)\ne 0$，故$\dim (\mathrm{im}(f(\mathbf{x},{\mathbf{e}}_1)))\ge 1$
  • 另一方面$\mathrm{im}(f(\mathbf{x},{\mathbf{e}}_1))\subset F$, 故$\dim (\mathrm{im}(f(\mathbf{x},{\mathbf{e}}_1)))\le 1$
  • 于是$\dim (\mathrm{im}(f(\mathbf{x},{\mathbf{e}}_1)))=1$, 由对偶定理 得$\dim (W)=n-1$
• 设$g\in {\mathcal{L}}_2(W)$满足$\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in W,g(\mathbf{x},\mathbf{y})=f(\mathbf{x},\mathbf{y})$，由归纳条件，存在$W$的一组基${\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$使得$\forall i,j\in \{2,3,\cdots ,n\},i\ne j$有$g({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_j)=f({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_j)=0$，由于我们已经证明了直和分解，${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$即为$V$的一组基.
• 又由$W$的定义，$f({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_1)=0,i=2,3,\cdots ,n$. 再由$f$对称性反过来也成立. 于是$\forall i,j\in \{1,2,\cdots ,n\},i\ne j$有$f({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_j)=0$. 归纳假设对$\dim (V)=n$也成立

合同对角化方法

求kernel

采用上面的证明过程，将${\mathrm{SM}}_n(F)$上的合同对角化问题转化为${\mathrm{SM}}_{n-1}(F)$上的合同对角化问题

行列相伴

目标是找到一个可逆矩阵$C$使得

$$C^{t}AC=B$$

其中$A$是对称矩阵，$B$是对角矩阵 而$C$总可以写成一系列初等矩阵的积，故我们需要找到

$$P_k^t\cdots P_1^{t}A{P}_1\cdots P_k=B$$

又因为矩阵乘法满足结合律，故可以先计算$(P_1^{t}A{P}_1)$，再计算$P_2^t(P_1^{t}A{P}_1)P_2,\cdots$ 即每次先进行一次$P^t$对应的行变换，紧接着进行$P$对应的行变换，这就是所谓的行列相伴

对于第一类和第二类初等变换，可以验证$P^t=P$ 而对于第三类初等变换，有

$$r_i+k{r}_j\to r_j+k{r}_i;c_i+k{c}_j\to c_j+k{c}_i$$

会把被加的行（列）号变成另外一个 但是，如果$r_i+k{r}_j$转置后再使用右乘，仍然是$c_i+k{c}_j$的效果

由此，我们可以构造分块矩阵$\left(\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right)$，不断对其进行如上行列相伴的变换，直到$A$变成对角矩阵，此时的$E$就会变换成我们需要的那个$C$

配方法

见二次型

复数域上的平凡解

设$A\in {\mathrm{SM}}_n(\mathbb{C}),\mathrm{rank}(A)=r$则

$$A{\sim }_c\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$$

这里相应的$P$为

$$P=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_1}},\cdots ,\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_r}},1,\cdots ,1\right)$$