Fundamental Theorem of Symmetric Polynomials

基本对称多项式

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_1& =\sum _{1\le i\le n}{x}_i\\ {\sigma }_2& =\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j\\ {\sigma }_3& =\sum _{1\le i<j<k\le n}{x}_i{x}_j{x}_k\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

基本对称多项式（Elementary Symmetric Polynomial） 之所以重要, 是因为由代数基本定理可以得到任意一个域$F$上的$n$阶多项式（不妨设首项系数为$1$, 化成首一多项式）都有$n$个零点, 故可以分解为

$$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)$$

展开后可以得到

$$f(x)=x^n-{\sigma }_1{x}^{n-1}+{\sigma }_2{x}^{n-2}+\cdots +(-1{)}^k{\sigma }_k{x}^{n-k}+\cdots +(-1{)}^n{\sigma }_n$$

由此可以直接给出韦达定理

对称多项式基本定理

对于$\forall f\in F[x_1,\cdots ,x_n]$是对称多项式, $\exists g\in F[x_1,\cdots ,x_n]\text{ s.t. }f=g({\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_n)$ 也就是说任意对称多项式都可以由基本对称多项式的多项式表示出

Newton 恒等式

设

$$s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots x_n^k,k=0,1,2,\cdots$$

则有

$$k{\sigma }_k=\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i-1}{\sigma }_{k-i}{s}_i$$