Multivariate Polynomial Ring

齐次多项式和齐次分解

齐次多项式

每一个单项式的次数相等的多项式是齐次多项式

齐次分解

对于任意多项式$p$

$$p=h_d+\cdots +h_2+h_1+h_0$$

其中$h_n$为次数为$n$的齐次多项式

对称多项式

利用赋值定理，这里把未定元$x_i$赋值为$x_{\sigma (i)}$，于是我们就可以定义： 设$p\in R[x_1,\cdots ,x_n].$ 如果对于任意的$\sigma \in S_n,{\varphi }_{\sigma }(p)=p$，则称$p$是关于$x_1,\cdots ,x_n$的对称多项式，这里${\varphi }_{\sigma }:R[x_1,\cdots ,x_n]\to R[x_1,\cdots ,x_n]$满足

$${\varphi }_{\sigma }(x_i)=x_{\sigma (i)},i=1,\cdots ,n\text{ and }{\varphi }_{\sigma }{|}_R=\varphi$$

整环中的最大公因子和最小公倍式

记号：设$D$是整环. 则$D^{\ast }=D\backslash \{0\}$ 且$U_D$是$D$中所有可逆元的集合.

整除和相伴

整除

设$a\in D^{\ast }$和$b\in D$，如果存在$c\in D$使得

$$b=ca$$

则称$a$是$b$的因子，$b$是$a$的倍式. 则此时，我们称$a$在$D$中整除$b$，记为$a|b$

相伴

设$a,b\in D$. 如果存在$u,v\in U_D$ 使得 $ua=vb$, 则称$a,b$在$D$上相伴，记为$a\approx b$ 相伴是一个等价关系 等价地

$$a\approx b⟺(a\mid b)\wedge (b\mid a)$$

如果$a\approx b$，那么就无法用整除性质来区分$a,b$. 特别地，当$D=\mathbb{Z}$时，$U_{\mathbb{Z}}=\{-1,1\}$，故在$\mathbb{Z}$上$a\approx b⟺a\pm b$

在多项式中，对于$F[x]$有$U_{F[x]}=F^{\ast }$ ,故在$F[x]$中，

$$f\approx g⟺\exists \alpha ,\beta \in F^{\ast },\alpha f=\beta g$$

首一多项式

特别地，当$f\ne 0$时，$f\approx \mathrm{lc}(f{)}^{-1}f$ ，这里$\mathrm{lc}(f)$表示$f$的首项系数. $\mathrm{lc}(f{)}^{-1}f$是首项系数为1的多项式，简称首一多项式(monic polynomial)，也是多项式$f$的首一部分

推论：$f\approx g⟺$ $f,g$ 的首一部分相同

最大公因子和最小公倍式

通过exgcd算法来计算一元多项式的最大公因子(利用多项式除法) 定义：设$f,g\in F[x]$不全为零. 如果$\gcd (f,g)=1$，则称$f,g$互素 推论：设$f,g\in F[x]$不全为零，则$f,g$互素当且仅当存在$u,v\in F[x]$使得

$$uf+vg=1$$

类似地，也有

$$\mathrm{lcm}(f,g)=\frac{fg}{\gcd (f,g)}$$

核核分解

设$F$是域，从坐标空间$F^n$到$F^n$的线性映射简称线性算子. $\mathcal{O}$代表$F^n$上的零算子, $\mathcal{E}$是$F^n$上的恒同算子. 则五元组$(\mathrm{Hom}(F^n,F^n),+,\mathcal{O},\circ ,\mathcal{E})$是环. 其中$\mathrm{Hom}(F^n,F^n)$表示从坐标空间$F^n$到$F^n$的线性映射组成的集合

考虑映射

$$\begin{array}{rl}\Psi :M_n(F)& ⟶\mathrm{Hom}(F^n,F^n)\\ A& ⟶\varphi :=\mathcal{A}\end{array}$$

其中$\mathcal{A}$是以$A$为矩阵的线性算子. 由矩阵运算的定义可知$\Psi$是环同构 由此，令

$$F[\mathcal{A}]=\left\{\sum _{i=0}^k{f}_i{\mathcal{A}}^i|k\in \mathbb{N},f_i\in F\right\}$$

则有$\Psi (F[A])=F[\mathcal{A}]$. 又注意到当$A\ne O$时，$F[A]$是$M_n(F)$的交换子环. 再根据赋值定理，对于任意非零线性算子$\mathcal{A}$, 有环同态

$$\begin{array}{rl}{\rho }_{\mathcal{A}}:F[x]& ⟶F[\mathcal{A}]\\ f(x)=\sum _{i=0}^k{f}_i{x}^i& ⟶f(\mathcal{A})=\sum _{i=0}^k{f}_i{\mathcal{A}}^i\end{array}$$

由此引出如下核核分解定理 设$\mathcal{A}\in \mathrm{Hom}(F^n,F^n)\ne \mathcal{O},f\in F[t]$且$f(\mathcal{A})=\mathcal{O}$. 再设$f=pq$, 其中$p,q\in F[t],\gcd (p,q)=1$. 则

$$\ker (p(\mathcal{A}))\oplus \ker (q(\mathcal{A}))=F^n$$

进而

$$\dim (\ker (p(\mathcal{A})))+\dim (\ker (q(\mathcal{A})))=n$$

证明：$\gcd (p,q)=1⟹\exists u,v\in F[t]$ s.t.

$$up+vq=1$$

于是

$$u(\mathcal{A})p(\mathcal{A})+v(\mathcal{A})q(\mathcal{A})=\mathcal{E}\text{\hspace{1em}(∗)}$$

令$\mathbf{v}\in \ker (p(\mathcal{A}))\cap \ker (q(\mathcal{A}))$, 有

$$\begin{array}{rl}(u(\mathcal{A})p(\mathcal{A})+v(\mathcal{A})q(\mathcal{A}))(\mathbf{v})& =\mathcal{E}(\mathbf{v})\\ ⟹u(\mathcal{A})p(\mathcal{A})(\mathbf{v})+v(\mathcal{A})q(\mathcal{A})(\mathbf{v})& =\mathbf{v}\\ ⟹0& =\mathbf{v}\end{array}$$

于是有$\ker (p(\mathcal{A}))\cap \ker (q(\mathcal{A}))=\{0\}$ 再设$\mathbf{x}\in F^n,\mathbf{y}=u(\mathcal{A})p(\mathcal{A})(\mathbf{x}),\mathbf{z}=v(\mathcal{A})q(\mathcal{A})(\mathbf{x})$, 则$(\ast )⟹\mathbf{x}=\mathbf{y}+\mathbf{z}$ 注意到

$$\begin{array}{rl}q(\mathcal{A})(\mathbf{y})& =q(\mathcal{A})u(\mathcal{A})p(\mathcal{A})(\mathbf{x})(\mathbf{y}\text{的定义})\\ & =u(\mathcal{A})q(\mathcal{A})p(\mathcal{A})(\mathbf{x})(F[\mathcal{A}]\text{是交换环})\\ & =u(\mathcal{A})f(\mathcal{A})(\mathbf{x})(f=pq)\\ & =0(f(\mathcal{A})=\mathcal{O})\end{array}$$

故$y\in \ker (q(\mathcal{A}))$, 同理$z\in \ker (p(\mathcal{A}))$. 于是

$$\ker (p(\mathcal{A}))\oplus \ker (q(\mathcal{A}))=F^n$$

推论： 设$A\in M_n(F),f\in F[t],f(A)=O,f=pq:p,q\in F[t],\gcd (p,q)=1$则

$$\mathrm{sol}(p(A)\mathbf{x}=0)\oplus \mathrm{sol}(q(A)\mathbf{x}=0)=F^n$$

特别地

$$\mathrm{rank}(p(A))+\mathrm{rank}(q(A))=n$$

例子：设$\mathrm{char}(F)\ne 2,A\in M_n(F)$ 满足$A^2=E$, 证明

$$\mathrm{rank}(A+E)+\mathrm{rank}(A-E)=n$$

其中$\mathrm{char}(F)$表示$F$的特征