齐次多项式和齐次分解

齐次多项式

每一个单项式的次数相等的多项式是齐次多项式

齐次分解

对于任意多项式

其中为次数为的齐次多项式

对称多项式

利用赋值定理, 这里把未定元赋值为, 于是我们就可以定义: 设 如果对于任意的, 则称是关于对称多项式, 这里满足

整环中的最大公因子和最小公倍式

记号: 设整环. 则中所有可逆元的集合.

整除和相伴

整除

, 如果存在使得

则称因子, 的倍式. 则此时, 我们称中整除, 记为

相伴

. 如果存在 使得 , 则称上相伴, 记为 相伴是一个等价关系 等价地

如果, 那么就无法用整除性质来区分. 特别地, 当时, , 故在

在多项式中, 对于 ,故在中,

首一多项式

特别地, 当时, , 这里表示的首项系数. 是首项系数为1的多项式, 简称首一多项式(monic polynomial), 也是多项式首一部分

推论: 的首一部分相同

最大公因子和最小公倍式

通过exgcd算法来计算一元多项式的最大公因子(利用多项式除法) 定义: 设不全为零. 如果, 则称互素 推论: 设不全为零, 则互素当且仅当存在使得

类似地, 也有

核核分解

是域, 从坐标空间的线性映射简称线性算子. 代表上的零算子, 上的恒同算子. 则五元组是环. 其中表示从坐标空间的线性映射组成的集合

考虑映射

其中是以为矩阵的线性算子. 由矩阵运算的定义可知是环同构 由此, 令

则有. 又注意到当时, 的交换子环. 再根据赋值定理, 对于任意非零线性算子, 有环同态

由此引出如下核核分解定理. 再设, 其中. 则

进而

证明: s.t.

于是

, 有

于是有 再设, 则 注意到

, 同理. 于是

推论: 设

特别地

例子: 设 满足, 证明

其中表示特征