Improper Integrals

无穷积分

比较原则

考虑到函数$f(x)=\frac{1}{x^p}$, 当$p=1$时它在$(0,a],[a,+\infty )$上都是发散的, 当$p>1$时它在$[a,+\infty )$上收敛, 当$p<1$时在$(0,a]$上收敛 Cauchy判据: 设$f$是定义于$[a,+\infty )(a>0)$上的函数, 且在任何有限区间$[a,u]$上可积, 则有:

1. 当$0\le f(x)\le \frac{1}{x^p},p>1$时, ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛;
2. 当$f(x)\ge \frac{1}{x^p},p\le 1$时, ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$发散; 推论: 设$f$是定义于$[a,+\infty )$上的非负函数, 在任何有限区间$[a,u]$上可积, 且

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)=\lambda$$

则有

1. 当$p>1,0\le \lambda <+\infty$时, ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛
2. 当$p\le 1,0<\lambda \le +\infty$时, ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$发散 注意上面能否取到$0$和$+\infty$的条件不同

A-D 判别法

1. 若${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛, $g(x)$在$[a,\infty )$上单调有界, 则${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛
2. 若${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$在$[a,\infty )$上有界, $g(x)$在$[a,\infty )$上当$x\to +\infty$时单调趋于$0$, 则${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛

瑕积分

例子:${\int }_0^1\ln x\mathrm{d}x$收敛, 可以由其原函数的极限直接得到

Cauchy 准则

瑕积分${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$（瑕点为$a$）收敛的充要条件是: 任给$\epsilon >0$, 存在$\delta >0$, 只要$u_1,u_2\in (a,a+\delta )$, 总有

$$\left|{\int }_{u_1}^{b}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_{u_2}^{b}f(x)\mathrm{d}x\right|=\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon$$

比较原则

选用${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^p}$为比较对象, 有如下推论（Cauchy判据）

1. 当$0\le f(x)\le \frac{1}{(x-a{)}^p},0<p<1$时, ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$收敛;
2. 当$f(x)\ge \frac{1}{(x-a{)}^p},p\ge 1$时, ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$发散

推论: 设$f$是定义于$(a,b]$上的非负函数, 在任何$[u,b]\subset (a,b]$上可积, 且

$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }(x-a{)}^{p}f(x)=\lambda$$

则有

1. 当$0<p<1,0\le \lambda <+\infty$时, ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$收敛
2. 当$p\ge 1,0<\lambda \le +\infty$时, ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$发散

总结: 反常积分的判定方法

1. 直接积分判断极限是否存在
2. 比较原则-$Cauchy$判据
3. $A-D$判别法
4. $Cauchy$准则