无穷积分
比较原则
考虑到函数f(x)=xp1,当p=1时它在(0,a],[a,+∞)上都是发散的,当p>1时它在[a,+∞)上收敛,当p<1时在(0,a]上收敛
Cauchy判据: 设f是定义于[a,+∞)(a>0)上的函数,且在任何有限区间[a,u]上可积,则有:
- 当0≤f(x)≤xp1,p>1时,∫a+∞f(x)dx收敛;
- 当f(x)≥xp1,p≤1时,∫a+∞f(x)dx发散;
推论: 设f是定义于[a,+∞)上的非负函数,在任何有限区间[a,u]上可积,且
x→+∞limxpf(x)=λ
则有
- 当p>1,0≤λ<+∞时,∫a+∞f(x)dx收敛
- 当p≤1,0<λ≤+∞时,∫a+∞f(x)dx发散
注意上面能否取到0和+∞的条件不同
A-D 判别法
- 若∫a+∞f(x)dx收敛,g(x)在[a,∞)上单调有界,则∫a+∞f(x)g(x)dx收敛
- 若∫a+∞f(x)dx在[a,∞)上有界,g(x)在[a,∞)上当x→+∞时单调趋于0,则∫a+∞f(x)g(x)dx收敛
瑕积分
例子:∫01lnxdx收敛,可以由其原函数的极限直接得到
Cauchy 准则
瑕积分∫abf(x)dx(瑕点为a)收敛的充要条件是: 任给ε>0,存在δ>0,只要u1,u2∈(a,a+δ),总有
∫u1bf(x)dx−∫u2bf(x)dx=∫u1u2f(x)dx<ε
比较原则
选用∫ab(x−a)pdx为比较对象,有如下推论(Cauchy判据)
- 当0≤f(x)≤(x−a)p1,0<p<1时,∫abf(x)dx收敛;
- 当f(x)≥(x−a)p1,p≥1时,∫abf(x)dx发散
推论: 设f是定义于(a,b]上的非负函数,在任何[u,b]⊂(a,b]上可积,且
x→a+lim(x−a)pf(x)=λ
则有
- 当0<p<1,0≤λ<+∞时,∫abf(x)dx收敛
- 当p≥1,0<λ≤+∞时,∫abf(x)dx发散
总结:反常积分的判定方法
- 直接积分判断极限是否存在
- 比较原则-Cauchy判据
- A−D判别法
- Cauchy准则