设,考虑线性方程组
设在中的正交投影是,则
称为该线性方程组的一个最小平方解
注意到该线性方程组有解当且仅当,故此时每个最小平方解都是原方程的解,反之亦然. 而当原方程组无解时,最小平方解总是存在的,当列满秩时,最小平方解是唯一的
设A∈Rm×n,b∈Rm,x=(x1,…,xn),考虑线性方程组
Ax=b设b在Vc(A)=⟨A(1),…,A(n)⟩中的正交投影是v=α1A(1)+⋯+αnA(n),则
(α1,…,αn)t称为该线性方程组的一个最小平方解
注意到该线性方程组有解当且仅当b∈Vc(A),故此时每个最小平方解都是原方程的解,反之亦然. 而当原方程组无解时,最小平方解总是存在的,当A列满秩时,最小平方解是唯一的