上的内积

内积的定义

上的对称双线性型满足正定的, 则称是一个欧式空间, 上的内积

举例

, 由上述定义, 就有内积满足是正定的, 所以是欧式空间

, 则

是内积, 因为它满足

  • 线性: , 且类似地对第二个变元也成立
  • 对称性:
  • 正定性:

, , 则

的内积

Dirac符号

我们利用Dirac符号, 把欧式空间上的内积记为 ,即

利用这个符号, 内积的基本性质如下

  • 双线性: 对任意的,
  • 对称性: 对任意
  • 正定性: 对任意

Gram矩阵

是欧式空间, , 定义

称之为Gram矩阵

由内积的对称性可知Gram矩阵是对称的

由定义, 若, 令

则有

是欧式空间, . 则线性相关当且仅当

进一步, 我们可以知道是半正定的, 它是正定的当且仅当线性无关

Tip

Gram矩阵可以把向量的内积转化为基底的内积

长度、距离、角度和正交

长度和距离

是欧式空间, . 称长度, 记为. 再设. 则称为之间的距离

Cauchy-Bunyakovsky不等式

, 则

特别地当且仅当线性相关

上, 该不等式的形式是

上, 该不等式的形式是

上, 该不等式的形式是

, 且存在使得或者, 则称平行. 如果, 则称同向. 如果, 则称反向, 有时候也称迷向

由此, 我们得到Cauchy不等式的等价命题三角不等式

. 则. 等式成立当且仅当同向

夹角

, 称

夹角, 其通常的取值范围为

正交

. 如果, 则称正交, 记为

,其中非零, 则

  • 如果两两正交, 则它们线性无关

勾股定理

, 则当且仅当

单位正交基

中两两正交的单位向量, 则称它们为的一组单位正交基

Gram-Schmidt正交化

线性无关, 则存在两两正交的单位向量使得

其中. 特别地, 有单位正交基

可以利用如下递推式构造,

例如要求的子空间的一组正交单位基, 其中

则可由Gram-Schmidt正交化得

正交基的性质

内积的形式

的一组单位正交基是在这组基下的坐标分别是, 则有

内积取坐标分量

的一组单位正交基是. 则在该基下的第个坐标分量为,

维数相等的欧式空间线性同构且保持内积不变

是两个-维欧式空间, 其中的内积分别记为, 则存在线性同构满足对任意

正交投影和正交补

投影

,称

上的投影

, 上的投影, 则

正交子空间和正交投影

. 如果对任意的都有, 则称正交, 记为. 特别地, 当时, 则也记为

子空间, , 则存在唯一的使得, 称这里的在子空间上的正交投影. 特别地, 向量上的投影就是上的正交投影

我们记在子空间上的正交投影为

距离

在上面的例子中, 此时考虑, 容易证明, 故我们称成为距离, 记为

正交补

是子空间, 令, 则

  1. 是子空间且
  2. , 故称正交补
  3. , 这是的直接推论

由第点我们知道, 设中的单位正交向量, 则可以扩充为的一组单位正交基, 比如说, 设标准欧式空间的标准基为, 则有

正交矩阵与正交等价

正交矩阵

设欧式空间有两组单位正交基, 且矩阵满足. 则对任意的, 我们有

由此得出, 进而

. 如果, 则称正交矩阵. 所有阶正交矩阵的集合记为

集合子群

正交矩阵有如下性质

  • 如果, 则, 这说明了正交矩阵是一个旋转矩阵或者是一个反射矩阵
  • 当且仅当的列向量是标准欧式空间中的一组单位正交基
  • 当且仅当的行向量是标准欧式空间中的一组单位正交基

特别地, 当且仅当存在使得

前面这种行列式为, 代表旋转;后面这种行列式为, 代表反射

设欧式空间由基, 矩阵满足

再设是单位正交基, 则是单位正交基当且仅当

正交等价

. 如果存在使得, 则称正交等价(或正交相似), 记为

可以验证, 等价关系. 且若, 则由, 这是因为正交矩阵的逆和转置相等. 由此可得, 矩阵的相似不变量合同不变量都是正交等价的不变量. 但是反之不然, 不能用合同等价及相似等价同时成立推出正交等价

在正交等价下, 可以同时用来表示基底变换