二元函数

设平面点集, 若安装某对应法则, 中的每一点都有唯一确定的实数与之对应, 则称为定义在上的二元函数, 记作

若二元函数的值域是有界数集, 则称该函数为有界函数;若是无界数集, 则称该函数为无界函数

类似地可定义元函数

二元函数的极限

定义

为定义在上的二元函数, 的一个聚点, 是一个确定的实数. 若对任意正数, 都存在某正数, 使得当时, 都有

则称上当时以为极限, 记作

当对不至于产生误解时可写作

判定定理

的充要条件是: 对于的任一子集, 只要的聚点, 就有

由此定理

  1. 如果在某个为聚点的子集中极限不存在, 在中极限也不存在
  2. 如果在某两个为聚点的子集中极限存在但是不同, 则在中极限也不存在 故若想证明不存在可以给增加如一条直线这样的约束, 观察通过不同轨迹趋近的结果是否相同

非正常极限

为二元函数的定义域, 的一个聚点. 若对任给正数, 总存在点的一个邻域, 使得当时, 都有. 则称上当时, 存在非正常极限, 记作

累次极限

称为重极限

轴、轴上的投影分别为, 即

分别是的聚点, 若对,存在极限

且进一步存在极限

则称此极限先对后对累次极限, 记作

同理可以定义先的累次极限

累次极限与重极限是两个不同的概念, 它们的存在性没有必然的蕴含关系

但是如果重极限和累次极限(某一个)都存在, 则它们必然相等. 如果两个累次极限存在但是不相等, 则重极限不存在

二元函数的连续性

定义

为定义在点集上的二元函数, 且它或者是聚点或者是孤立点. 对于任给的正数, 总存在相应的正数, 只要就有

则称关于集合 在点连续. 在不导致误解的情况下, 也称在点连续. 若上的任何点都关于连续, 则称上的连续函数

由此可知, 若孤立点, 也就说存在的一个去心邻域使得它和的交集为空集, 那么必然是关于的连续点;若聚点, 则关于连续等价于

如果的聚点其上述极限条件不满足, 则称不连续点(或者称为间断点), 如果左边极限存在且不等于右边, 则称可去间断点(或第一类不连续点

全增量和偏增量

全增量

, 则

为函数在点全增量, 由此当

时, 连续

偏增量

如果在全增量中取或者, 则相应的函数增量被称为偏增量, 记作

一般来说, 函数的全增量不等于相应的两个偏增量之和 如果有或者, 则称作为的一元函数在连续或者作为的一元函数在连续. 但是, 二元函数对两个自变量都连续不能保证该函数的连续性

复合函数的连续性

设函数平面上点的某邻域内有定义, 并在点连续;函数平面上的点的某邻域内有定义且在连续, 其中. 则复合函数在点连续

有界闭域上连续函数的性质

有界性和最大、最小值定理

若函数在有界闭域上连续, 则上有界, 且能取到最大值与最小值

一致连续性定理

若函数在有界闭域上连续, 则一致连续. 即对, 总存在之依赖于的正数, 使得对于一切点,

介值性定理

设函数在区域上连续, 若, 则对任何满足, 必然存在使得