Limit of Multivariable Functions

二元函数

设平面点集$D\subset {\mathbb{R}}^2$，若安装某对应法则$f$，$D$中的每一点$P(x,y)$都有唯一确定的实数$z$与之对应，则称$f$为定义在$D$上的二元函数，记作

$$\begin{array}{rl}f:D& \to \mathbb{R}\\ P& \to z\end{array}$$

若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数；若是无界数集，则称该函数为无界函数

类似地可定义$n$元函数

二元函数的极限

定义

设$f$为定义在$D\subset {\mathbb{R}}^2$上的二元函数，$P_0$是$D$的一个聚点，$A$是一个确定的实数. 若对任意正数$\epsilon$, 都存在某正数$\delta$，使得当$P\in U^{\circ }(P_0;\delta )\cap D$时，都有

$$\left|f(P)-A\right|<\epsilon$$

则称$f$在$D$上当$P\to P_0$时以$A$为极限，记作

$$\underset{P\to P_0,P\in D}{\lim }f(P)=A$$

当对$P\in D$不至于产生误解时可写作

$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A$$

判定定理

$\underset{P\to P_0,P\in D}{\lim }f(P)=A$的充要条件是：对于$D$的任一子集$E$，只要$P_0$是$E$的聚点，就有

$$\underset{P\to P_0,P\in E}{\lim }f(P)=A$$

由此定理

1. 如果在某个$P_0$为聚点的子集$E_1$中极限不存在，在$D$中极限也不存在
2. 如果在某两个$P_0$为聚点的子集$E_1,E_2$中极限存在但是不同，则在$D$中极限也不存在 故若想证明不存在可以给$(x,y)$增加如一条直线这样的约束，观察通过不同轨迹趋近的结果是否相同

非正常极限

设$D$为二元函数$f$的定义域，$P_0(x_0,y_0)$是$D$的一个聚点. 若对任给正数$M$，总存在点$P_0$的一个$\delta$邻域，使得当$P(x,y)\in U^{\circ }(P_0;\delta )\cap D$时，都有$f(P)>M$. 则称$f$在$D$上当$P\to P_0$时，存在非正常极限$+\infty$，记作

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=+\infty$$

累次极限

$(x,y)\to (x_0,y_0)$称为重极限

设$f(x,y),(x,y)\in D,D$在$x$轴、$y$轴上的投影分别为$X,Y$，即

$$X=\{x\mid (x,y)\in D\},Y=\{y\mid (x,y)\in D\}$$

$x_0,y_0$分别是$X,Y$的聚点，若对$\forall y\ne y_0\in Y$,存在极限

$$\phi (y)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$$

且进一步存在极限

$$L=\underset{y\to y_0}{\lim }\phi (y)$$

则称此极限$L$为$f(x,y)$先对$x$后对$y$的累次极限，记作

$$L=\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$$

同理可以定义先$y$后$x$的累次极限

$$K=\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$$

累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系

但是如果重极限和累次极限（某一个）都存在，则它们必然相等. 如果两个累次极限存在但是不相等，则重极限不存在

二元函数的连续性

定义

设$f$为定义在点集$D\subset {\mathbb{R}}^2$上的二元函数，$P_0\in D$且它或者是$D$的聚点或者是$D$的孤立点. 对于任给的正数$\epsilon$，总存在相应的正数$\delta$，只要$P\in U(P_0;\delta )\cap D$就有

$$\left|f(P)-f(P_0)\right|<\epsilon$$

则称$f$关于集合$D$ 在点$P_0$连续. 在不导致误解的情况下，也称$f$在点$P_0$连续. 若$f$在$D$上的任何点都关于$D$连续，则称$f$为$D$上的连续函数

由此可知，若$P_0$是$D$的孤立点，也就说存在$P_0$的一个去心邻域使得它和$D$的交集为空集，那么$P_0$必然是$f$关于$D$的连续点；若$P_0$是$D$的聚点，则$f$关于$D$在$P_0$连续等价于

$$\underset{P\to P_0;P\in D}{\lim }f(P)=f(P_0)$$

如果$P_0$是$D$的聚点其上述极限条件不满足，则称$P_0$是$f$的不连续点（或者称为间断点），如果左边极限存在且不等于右边，则称$P_0$是$D$的可去间断点（或第一类不连续点）

全增量和偏增量

全增量

设$z=f(x,y)$, 则

$$\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

为函数$f$在点$P_0(x_0,y_0)$的全增量，由此当

$$\underset{\begin{array}{c}(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)\\ (x,y)\in D\end{array}}{\lim }\Delta z=0$$

时，$f$在$P_0$连续

偏增量

如果在全增量中取$\Delta x=0$或者$\Delta y=0$，则相应的函数增量被称为偏增量，记作

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{x}z& =f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)\\ {\Delta }_{y}z& =f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\end{array}$$

一般来说，函数的全增量不等于相应的两个偏增量之和 如果有$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }{\Delta }_{x}f(x_0,y_0)=0$或者$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }{\Delta }_{x}f(x_0,y_0)=0$，则称$f$作为$x$的一元函数在$x_0$连续或者作为$y$的一元函数在$y_0$连续. 但是，二元函数对两个自变量都连续不能保证该函数的连续性

复合函数的连续性

设函数$u=\phi (x,y)$和$v=\psi (x,y)$在$xy$平面上点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，并在点$P_0$连续；函数$f(u,v)$在$uv$平面上的点$Q_0(u_0,v_0)$的某邻域内有定义且在$Q_0$连续，其中$u_0=\phi (x_0,y_0),v_0=\psi (x_0,y_0)$. 则复合函数$f(x,y)=f[\phi (x,y),\psi (x,y)]$在点$P_0$连续

有界闭域上连续函数的性质

有界性和最大、最小值定理

若函数$f$在有界闭域$D\subset {\mathbb{R}}^2$上连续，则$f$在$D$上有界，且能取到最大值与最小值

一致连续性定理

若函数$f$在有界闭域$D\subset {\mathbb{R}}^2$上连续，则$f$在$D$上一致连续. 即对$\forall \epsilon >0$，总存在之依赖于$\epsilon$的正数$\delta$，使得对于一切点$P,Q$，$\rho (P,Q)<\delta ⟹\left|f(P)-f(Q)\right|<\epsilon$

介值性定理

设函数$f$在区域$D\subset {\mathbb{R}}^2$上连续，若$P_1,P_2\in D$且$f(P_1)<f(P_2)$，则对任何满足$f(P_1)<\mu <f(P_2)$的$\mu$，必然存在$P_0\in D$使得$f(P_0)=\mu$