Planar Point Set

平面点集

坐标平面上满足某种条件$P$的集合称为平面点集, 记为

$$E=\{(x,y)\mid (x,y)\text{ satisfies }P\}$$

平面点集

$$\begin{array}{rl}\{(x,y)& \mid (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}\\ \{(x,y)& \mid |x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta \}\end{array}$$

分别称为以$(x_0,y_0)$为中心的$\delta$圆邻域和$\delta$方邻域

类似地可以定义相应的空心邻域

$$\begin{array}{rl}\{(x,y)& \mid 0<(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}\\ \{(x,y)& \mid |x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta ,(x,y)\ne (x_0,y_0)\}\end{array}$$

注意$\delta$方空心邻域的定义

点和点集的关系

讨论点$A$和点集$E$的关系

内点

若存在点$A$的某邻域$U(A)\subset E$, 则称$A$是$E$的内点, $E$的全部内点构成的几何称为$E$的内部, 记为$\mathrm{int}E$

外点

若存在点$A$的某邻域$U(A)\cap E=\varnothing$, 则称$A$是$E$的外点

界点

若在点$A$的任何邻域内既含有属于$E$的点, 又含有不属于$E$的点, 则称$A$是$E$的界点. 即对任何$\delta >0$, 恒有

$$(U(A;\delta )\cap E\ne \varnothing )\wedge (U(A;\delta )\cap E^c\ne \varnothing )$$

其中$E^c={\mathbb{R}}^2\backslash E$是$E$关于全平面的余集 $E$的全部界点构成$E$的边界, 记为$\delta E$

聚点

若在点$A$的任何空心邻域$U^{\circ }(A)$内都含有$E$中的点, 则称$A$为$E$的聚点；$A$本身可以属于$E$,也可以不属于$E$

孤立点

若$A\in E$, 但不是$E$的聚点, 即存在某一个正数$\delta$使得$U^{\circ }(A;\delta )\cap E=\varnothing$, 则称$A$是$E$的孤立点

由此可知, 孤立点一定是界点, 内点和非孤立点的界点一定是聚点, 既不是聚点, 又不是孤立点的点必为外点

开集和闭集

开集

若平面点集$E$所属的每一个点都是$E$的内点（即$\mathrm{int}E=E$）, 则称$E$为开集

闭集

若平面点集$E$的所有聚点都属于$E$, 则称$E$为闭集；若$E$没有聚点, 也称$E$为闭集

任意平面点集的边界都是闭集

1. 考虑$\forall S\in {\mathbb{R}}^2$设$x_0$为$\delta S$的任一聚点, 只需要证明$x_0\in \delta S$
2. 由于$x_0$是聚点, 所以对任意$\epsilon >0$, 存在$y\in U^{\circ }(x_0;\epsilon )\cap \delta S$
3. 由于$y$又是$S$的界点, 所以对任意$U(y;\delta )\subset U(x_0;\epsilon ),U(y;\delta )$上既有$S$的点, 也有非$S$的点
4. 所以$x_0$的任意$\epsilon$邻域内也都存在属于$S$的点和不属于$S$的点, 所以$x_0\in \delta S$

开域和闭域

开域

若非空开集$E$具有连通性, 即$E$中的任意两点之间都可用一条完全含于$E$的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接, 则称$E$为开域（即非空连通开集）

闭域

开域连同其边界所成的点集称为闭域

区域

开域、闭域或者开域连同其一部分边界所成的点集统称为区域

有界点集

对于平面点集$E$, 若存在某一个正数$r$, 使得

$$E\subset U(O;r)$$

其中$O$为坐标原点（也可以是其他点）, 则称$E$是有界点集, 否则为无界点集

$E$为有界点集的一个等价定义是, 存在矩形区域$E\subset [a,b]\times [c,d]$

点集的直径

定义点集$E$的直径

$$d(E)=\underset{P_1,P_2}{\sup }\rho (P_1,P_2)$$

其中$\rho$是欧几里得度规

$$\rho (P,Q)=\sqrt{(x_P-x_Q{)}^2+(y_P-y_Q{)}^2}$$

于是, 当且仅当$d(E)$是有限值时$E$是有限点集

${\mathbb{R}}^2$上的完备性定理

平面点列的收敛性

设$\{P_n\}\subset {\mathbb{R}}^2$为平面点列, $P_0\in {\mathbb{R}}^2$为一固定点. 若对任给的正数$\epsilon$, 存在正整数$N$, 使得当$n>N$时, 有$P_n\in U(P_0;\epsilon )$, 则称点列$\{P_n\}$收敛于$P_0$, 记为

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=P_0$$

Cauchy 准则

平面点列$\{P_n\}$收敛的充要条件是: 任给正数$\epsilon >0$, 存在正整数$N$, 使得当$n>N$时, 对一切正整数$p$都有

$$\rho (P_n,P_{n+p})<\epsilon$$

闭域套定理

设$\{D_n\}$是${\mathbb{R}}^2$中的闭域列, 它满足

1. $D_{n+1}\subset D_n,n=1,2,\cdots$
2. $d_n=d(D_n),{\lim }_{n\to \infty }{d}_n=0$ 则存在唯一的点$P_0\in D_n,n=1,2,\cdots$

聚点定理

设$E\subset {\mathbb{R}}^2$为有界无限点集, 则$E$在${\mathbb{R}}^2$中至少存在一个聚点

推论: 有界无限点列必然存在收敛子列

有限覆盖定理

如果某一个有界闭域能被一开域族覆盖, 那么必然可以从中选出有限个开域覆盖这个闭域