平面点集
坐标平面上满足某种条件的集合称为平面点集,记为
平面点集
分别称为以为中心的圆邻域和方邻域
类似地可以定义相应的空心邻域
注意方空心邻域的定义
点和点集的关系
讨论点和点集的关系
内点
若存在点的某邻域, 则称是的内点,的全部内点构成的几何称为的内部,记为
外点
若存在点的某邻域,则称是的外点
界点
若在点的任何邻域内既含有属于的点,又含有不属于的点,则称是的界点. 即对任何,恒有
其中是关于全平面的余集 的全部界点构成的边界,记为
聚点
若在点的任何空心邻域内都含有中的点,则称为的聚点;本身可以属于,也可以不属于
孤立点
若,但不是的聚点,即存在某一个正数使得,则称是的孤立点
由此可知,孤立点一定是界点,内点和非孤立点的界点一定是聚点,既不是聚点,又不是孤立点的点必为外点
开集和闭集
开集
若平面点集所属的每一个点都是的内点(即),则称为开集
闭集
若平面点集的所有聚点都属于,则称为闭集;若没有聚点,也称为闭集
任意平面点集的边界都是闭集
- 考虑设为的任一聚点,只需要证明
- 由于是聚点,所以对任意,存在
- 由于又是的界点,所以对任意上既有的点,也有非的点
- 所以的任意邻域内也都存在属于的点和不属于的点,所以
开域和闭域
开域
若非空开集具有连通性,即中的任意两点之间都可用一条完全含于的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接,则称为开域(即非空连通开集)
闭域
开域连同其边界所成的点集称为闭域
区域
开域、闭域或者开域连同其一部分边界所成的点集统称为区域
有界点集
对于平面点集,若存在某一个正数,使得
其中为坐标原点(也可以是其他点),则称是有界点集,否则为无界点集
为有界点集的一个等价定义是,存在矩形区域
点集的直径
定义点集的直径
其中是欧几里得度规
于是,当且仅当是有限值时是有限点集
上的完备性定理
平面点列的收敛性
设为平面点列,为一固定点. 若对任给的正数,存在正整数,使得当时,有,则称点列收敛于,记为
Cauchy 准则
平面点列收敛的充要条件是:任给正数,存在正整数,使得当时,对一切正整数都有
闭域套定理
设是中的闭域列,它满足
- 则存在唯一的点
聚点定理
设为有界无限点集,则在中至少存在一个聚点
推论:有界无限点列必然存在收敛子列
有限覆盖定理
如果某一个有界闭域能被一开域族覆盖,那么必然可以从中选出有限个开域覆盖这个闭域