重要提醒

1. 的子群包括两个平凡子群: 自己和!

2. !

3. 函数可以对多项式使用!

4. 写的时候先要想想可不可逆(会不会是

5. 什么是域的特征?

送分童子

中元素求阶

是循环群, 其中某个元素的阶

是群, 包含中所有的元素. 特别地, 当为质数时, 为循环群. 要求该群中的某个元素的阶, 需要计算最小的使得

计算子群 对于, 只需要计算的每一个因子生成的子群 对于, 子群的阶一定是该群阶的因数, 对于每一个子群可能的阶, 枚举出所有的可能

线性无关互推

, 证明线性无关线性无关 证明, 若线性无关, 因为, 所以

线性无关 反之, 设线性无关, 注意到

于是, 同理可以得到线性无关

矩阵带入多项式

注意把这样的改成

子群判别法证明

命题: 设是群, 的非空子集. 则的子群 证明: 对于充分性, 如果的子群, 那么运算上封闭, 于是对于显然有. 充分性得证 对于必要性, 设, 则(单位元保持), 进而(逆元存在), 再设(运算封闭) 提醒: 不要忘记证明充分性

在域(剩余类)上解线性方程组

注意某个子空间中含有向量的个数可能是有限的

摄动法

把域扩张到, 然后把待证等式加一未定元转化为多项式恒等式, 最后赋值

的线性映射, 确定

矩阵求逆

行变换法

多项式法

, 设是最小的正整数使得

可逆当且仅当, 此时有

应用: 观察待求逆的矩阵的幂次(通常只需要观察), 然后想办法凑成上面的形式

行列式计算

化为上(下)三角矩阵

按照行列展开寻找某个递归公式, 然后通过归纳法来证明它

交换环的例子

知识难点

伴随矩阵的秩

环和整环

  1. 在加法上是一个交换群
  2. 在乘法中是一个半群
  3. 同时满足左右分配律

整环

交换幺环+满足分配律

同态和同构

群同态

只需要验证(注意这里左右两边是不同的运算)

有如下性质

环同态

只需要验证保持加法、乘法和单位元

有如下性质

环同态是单射, 当且仅当

同构

同态 + 双射

循环群

  1. 一个循环群的子群也是循环群
  2. 一个由一个生成元生成的循环群的阶等于其生成元的阶

秩不等式

Sylvester不等式

历年真题

第一题

, 其中. 再设是素数, 是商映射, 和

  1. 证明
  2. 且只存在有限个素数 证明
  3. 关键是商映射是一个环同态, 因为这个映射保留了加法和乘法, 所以说当它作用于一个多项式时, 相当于它作用到了这个多项式的每一项的那个未定元上.
  4. 关键是用子式来分析秩, 从而将非多项式的秩转化为多项式的行列式

如果那么不等式显然成立 如果那么, 那么所有中大于阶的子式全部为零, 根据环同态的性质, 中大于阶的子式也全部为, 于是不等式亦成立

现在证明素数是有限的, 设, 那么至少存在一个阶子式不等于, 假设有阶子式不为零, 若要使, 这个子式必须都被整除, 所以说必须是这些子式的公共素因子, 故而必然是有限的

第二题

是域, 矩阵, 且代表阶单位方阵, 证明

  1. 证明
  2. 对于, 关键是矩阵乘法不增加秩, 故, 即 对于, 关键是直接把解出来, 对于的每一列 都满足方程

因为, 所以, 于是有解, 故而是有解的 这里利用了: 对于线性方程组, 如果则方程组有解, 如果则方程组无解;而由于最大只能取, 故这里的 2. 对于, 由第一小题已知, 而, 如果, 那么是可逆方阵, 自然是同一个矩阵, 这不符合题设. 于是只能有 对于, 和第一小题一样, 必然是有解的, 我们考虑其对应的齐次方程的解空间的维数

至少存在一个基底, 记为, 于是便可以取, 如此可以得到 注意: 只有齐次线性方程组的解构成一个子空间, 而一般的线性方程组的解构成一个线性流形

另证 直接求解矩阵方程, 其中未知矩阵. 根据打洞引理, 存在使得

其中. 故原方程等价于

, 则. 因为$$Q可逆, 所以原方程有解当且仅当

有解.

  1. 如果存在, 则 有解. 故. 如果, 则可以写为

故有

其中是任意矩阵. 故存在 2. 如果存在不同的矩阵, 故上述中矩阵至少存在一行, 故有. 如果, 则任意矩阵必然存在. 于是,至少有两个解

第三题

是域, . 证明

思路: 我们希望把分块矩阵化成上三角的形式, 就要把约掉, 所以不妨假设可逆, 那么

于是

如果不可逆, 设未定, 则, 故可逆, 于是

左右两边都是的多项式, 所以令, 即有

第四题

证明, 其中是所有的第二类初等矩阵构成的集合 思路, 利用第二类初等矩阵把所有行列式为1的矩阵变为

于是

注意, 讨论的情况

第五题

是域上的阶方阵, 不是零矩阵, 证明

  1. 中的可逆元
  2. 中的零因子 证明 这道题的关键在于如下定理: 设为给定的矩阵, 特征多项式定义为

那么, Cayley–Hamilton定理断言

这告诉我们总存在一个非零多项式使得

那么, 从这一点出发, 注意到多项式法给出的方法, 总是存在的, 而上的可逆性将决定是否为