重要提醒
1. 不定积分加C了吗!
2. 积分求面积的时候不要忘记加绝对值!
考前需背
∫a2+x2dx∫a2−x2dx∫x2−a2dx∫a2+x2dx∫a2−x2dx∫x2−a2dx=a1arctanax+C=2a1lna−xa+x+C=2a1lna+xa−x+C=ln∣x+a2+x2∣+C=arcsinax+C=ln∣x+x2−a2∣+C
Riemann可积的充要条件
定义
∀ε>0,∃δ>0 s.t. ∣∣T∣∣<δ⟹∣i=1∑nf(ξi)Δxi−I∣<ε
判据
函数f在[a,b]上Riemann可积的充要条件是: 任给ε>0, 总存在相应的某一分割T使得
T∑ωiΔxi<ε
其中振幅ωi被定义为
ωi=x∈Δisupf(x)−x∈Δiinff(x)
可以利用的定理
- 有界 + 有限个间断点
- 单调
处理常见的可数个不连续点的方法
思路: 把含有无穷个不连续点的区间长度压得尽可能小<ε, 通过有界性得到振幅的有界性→振幅长度和为小量→可积, 而对于另一部分区间只有有限个不连续点, 必然是可积的
Wallis 积分
n∈N⟹∫0π/2sinnxdx=⎩⎨⎧n!!(n−1)!!⋅2πn!!(n−1)!!,n为偶数,n为奇数
Stolz 公式
∞∗ 型
若数列an是严格单调递增的无穷大量, 则有
limn→∞an+1−anbn+1−bn=l⟹limn→∞anbn=l
00型
若数列an是严格单调递减的无穷大量, bn是无穷小量, 则有
limn→∞an+1−anbn+1−bn=l⟹limn→∞anbn=l
注意: 和L'Hôpital法则一样, 差分之比(导数之比)的极限不存在不能说明原来的数列之比(函数之比)不存在.
定积分的性质
积分第一中值定理
若f在[a,b]上连续, g在[a,b]上可积且不变号, 则至少存在一点ξ∈[a,b], 使得
∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx
积分第二中值定理
若f在[a,b]上单调 , g在[a,b]上可积, 则至少存在一点ξ∈[a,b], 使得
∫abf(x)g(x)=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx
变积分上限函数
dxd∫g(x)h(x)f(t)dt=f(h(x))h′(x)−f(g(x))g′(x)
定积分的应用
面积
考虑参数方程
x=φ(t),y=ψ(t)
有
dS=∣ydx∣=∣ψ(t)φ′(t)∣dt
不要忘记绝对值
弧长
考虑参数方程
x=φ(t),y=ψ(t)
有
ds=dx2+dy2=[φ′(t)]2+[ψ′(t)]2dt
曲率
考虑参数方程
x=φ(t),y=ψ(t)
有
K=∣φ′2+ψ′2∣23∣φ′ψ′′−φ′′ψ′∣
曲率半径
ρ=K1
无穷积分
比较原则
考虑到函数f(x)=xp1, 当p=1时它在(0,a],[a,+∞)上都是发散的, 当p>1时它在[a,+∞)上收敛, 当p<1时在(0,a]上收敛
Cauchy判据: 设f是定义于[a,+∞)(a>0)上的函数, 且在任何有限区间[a,u]上可积, 则有:
- 当0≤f(x)≤xp1,p>1时, ∫a+∞f(x)dx收敛;
- 当f(x)≥xp1,p≤1时, ∫a+∞f(x)dx发散;
推论: 设f是定义于[a,+∞)上的非负函数, 在任何有限区间[a,u]上可积, 且
x→+∞limxpf(x)=λ
则有
- 当p>1,0≤λ<+∞时, ∫a+∞f(x)dx收敛
- 当p≤1,0<λ≤+∞时, ∫a+∞f(x)dx发散
注意上面能否取到0和+∞的条件不同
A-D 判别法
- 若∫a+∞f(x)dx收敛, g(x)在[a,∞)上单调有界, 则∫a+∞f(x)g(x)dx收敛
- 若∫a+∞f(x)dx在[a,∞)上有界, g(x)在[a,∞)上当x→+∞时单调趋于0, 则∫a+∞f(x)g(x)dx收敛
瑕积分
例子:∫01lnxdx收敛, 可以由其原函数的极限直接得到
Cauchy 准则
瑕积分∫abf(x)dx(瑕点为a)收敛的充要条件是: 任给ε>0, 存在δ>0, 只要u1,u2∈(a,a+δ), 总有
∫u1bf(x)dx−∫u2bf(x)dx=∫u1u2f(x)dx<ε
比较原则
选用∫ab(x−a)pdx为比较对象, 有如下推论(Cauchy判据)
- 当0≤f(x)≤(x−a)p1,0<p<1时, ∫abf(x)dx收敛;
- 当f(x)≥(x−a)p1,p≥1时, ∫abf(x)dx发散
推论: 设f是定义于(a,b]上的非负函数, 在任何[u,b]⊂(a,b]上可积, 且
x→a+lim(x−a)pf(x)=λ
则有
- 当0<p<1,0≤λ<+∞时, ∫abf(x)dx收敛
- 当p≥1,0<λ≤+∞时, ∫abf(x)dx发散
总结: 反常积分的判定方法
- 直接积分判断极限是否存在
- 比较原则-Cauchy判据
- A−D判别法
- Cauchy准则
一些题目
不定积分技巧
换元消根号
题一
∫x31+4xdx
令u=31+4x, 则原积分化为
12∫(u6−u3)du
题二
∫1−3xxdx
令x=u6, 然后化成关于变量u的有理函数积分
换元改次数
题一
∫x(1−2x)99dx
令t=(1−2x), 则原积分化为
−21∫21−tt99dt
积分中值定理
设f(x)∈C[a,b], 若对于任意满足∫abg(x)dx=0的连续函数g(x), 均有∫abf(x)g(x)dx=0. 证明f(x)恒为常数
证明: 由积分中值定理, ∃ξ∈[a,b] s.t. f(ξ)(b−a)=∫abf(x)dx , 于是有∫ab(f(x)−f(ξ))dx=0, 故由题意, ∫abf(x)(f(x)−f(ξ))=0, 以及显然有∫abf(ξ)(f(x)−f(ξ))=0. 上述两式相减就可以得到
∫ab(f(x)−f(ξ))2=0⟹f(x)−f(ξ)≡0⟹f(x)=constant
直接洛必达太麻烦了, 可以利用积分中值定理简化计算
定积分计算
题一
计算
∫0π1+cos2xxdx
解
∫0π1+cos2xxdx=∫02π1+cos2xxdx+∫2ππ1+cos2xxdx=∫02π1+cos2xxdx+∫2π01+cos2(π−x)(π−x)d(π−x)=∫02π1+cos2xxdx+∫02π1+cos2x(π−x)dx=∫02π1+cos2xπdx
计算
∫1+cos2xdx=∫1+sec2xsec2xdx=∫2+tan2xd(tanx)=21arctan2tanx+C
故
∫02π1+cos2xπdx=2π(2π−0)=22π2
题二
设f(x)是在[0,2π]上非负单调递增的连续函数, 求证:
x∫0xf(t)sintdt≥(1−cosx)∫0xf(t)dt
证明
待证命题等价于
x∫0xf(t)2sin2tcos2tdx⟺x∫0xf(t)4sin2td(sin2t)⟺x∫0xf(t)2d(sin22t)⟺∫0xf(t)d(sin22xsin22t)≥2sin22x∫0xf(t)dt≥2sin22x∫0xf(t)dt≥2sin22x∫0xf(t)dt≥∫0xf(t)d(xt)
令
u=g(t)=sin22xsin22t,v=h(t)=xt⟹t=g−1(u)=h−1(v)
于是待证命题等价于
∫01f(g−1(u))du≥∫01f(h−1(v))dv
注意到g′′(t)=sin22xcost≥0, 故而g(t)是凸函数, g(t)≤h(t), 故有g−1(t)≥h−1(t), 再结合f(x)单调性, f(g−1(t))≥f(h−1(t)), 故而原命题得证.
积分极限
计算
n→+∞lim∫02πsinnxdx
解
由
∫02πsinnxdx=nn−1∫02πsinn−2xdx
若n为偶数, 考虑
sk=21⋅43⋅65⋯2k2k−1<32⋅54⋅76⋯2k+12k=sk1⋅2k+11
于是
sk<2k+11⟹k→+∞limsk=0⟹n→+∞lim∫02πsinnxdx=0
n是奇数的情况也是类似的
Taylor 展开
在x0=0处展开32−cosx到x4项
解
由
32−cosx=(1+(1−cosx))31=1+31(1−cosx)−91(1−cosx)2+o((1−cosx)2)
利用
cos=1−2x2+24x4+o(x4)
知
32−cosx=1+31(2x2−24x4)−91(2x2)2+o(x4)=1+6x2−24x4+o(x4)
敛散性判断
这里主要运用了两个技巧
积分的收敛性→积分上限函数的有界性→离散数列的有界性
第一个转化利用了积分函数f(x)>0, 故积分上限函数是单调的
第二个转化利用了如下定理
设f(x)在U∘(x0,δ0)上有界
x→x0limf(x)=sup{n→∞limf(xn):xn∈U∘(x0,δ0),x→∞limxn=x0}
当x0取+∞时也是成立的
Jordan 不等式
π2x≤sinx≤x,x∈[0,2π]
在通过第一个技巧+周期分割 限定x范围后, 可以利用此不等式实现sinx→x的转化