Blackbody Radiation

Stefan-Boltzmann定律

黑体的辐射本领和温度的四次方成正比

$$R=\sigma T^4,\sigma =5.67\times 10^{-8}\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{K}}^{-4}$$

Wein位移定律

黑体辐射中最强辐射的波长和温度成反比

$${\lambda }_{m}T=b,b=2898\mu \mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$$

Planck黑体辐射定律

在任意温度$T$下，从一个黑体中发射出的电磁辐射的辐射率是频率$\nu$的函数

$$L_{\nu }(\nu ,T)=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{\exp (\frac{h\nu }{k_{B}T})-1}$$

其中$L_{\nu }$是光谱辐射率，$k_B$是Boltzmann常数，或者写成波长的函数

$$L_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{\exp (\frac{hc}{\lambda k_{B}T})-1}$$

注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率. 因而它们不等价且有如下关系

$$I_{\nu }(\nu ,T)\mathrm{d}\nu =-I_{\lambda }(\lambda ,T)\mathrm{d}\lambda$$

通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换

$$\mathrm{d}\nu =\mathrm{d}\left(\frac{c}{\lambda }\right)=c\mathrm{d}(\frac{1}{\lambda })=-\frac{c}{{\lambda }^2}\mathrm{d}\lambda$$