Introduction to Molecular Dynamics Theory

物质的微观模型

宏观物体由大量的微观粒子组成

宏观物质由分子组成，是不连续的，分子间有空隙 粒子单元根据研究问题的不同而做出不同的选择

• 一般气体、液体问题 - 分子
• 固体材料 - 电子 每个粒子单元都有类似的性质，且其内部最小的尺度结构对研究的问题基本不影响

分子作永不停歇的无规则运动

扩散现象

一切物体（气体、液体、固体）的分子都在不停地运动着.

Brown 运动

水溶液中的花粉颗粒永不停歇地做无规则运动.

实验现象

• 自发产生而不受外界影响
• 具有普适性，其他的悬浮微粒如空气中的尘埃也表现出这种无规则运动
• 颗粒越小，温度越高，Brown 运动越明显

理论解释

布朗运动是由于颗粒受到水分子碰撞而形成的不平衡力的作用引起的. 大物体将受到的打击非常频繁，相互抵消，故它们并不移动. 微小颗粒受到的打击太少，无法抵消

布朗运动的微观解释首先是由Einstein在1905年提出：扩散过程

布朗运动间接反映并证实了分子及其热运动的存在，是分子热运动的宏观表现

分子间有相互作用力

分类

• 吸引力：固体和液体分子聚而不散，保持一定的体积，且固体物质保持一定的形状
• 排斥力：固体和液体很难被压缩.

分子间距大时，基本无相互作用；分子比较接近时，它们之间存在吸引力；当分子非常接近时，分子力变为排斥力

物理来源

• 吸引力：带电粒子之间的静电力
• 排斥力：微观粒子运动的量子力学效应

对物质聚集态的影响

• 分子力的作用将使分子聚集在一起，在空间形成某种规则的排布（有序排列）
• 分子的无规则热运动则将破坏这种有序排列，使分子自由运动 以上两个因素的相互作用使得物质呈现出三种不同的聚集态

理想气体的初级微观理论

理想气体的微观模型

1. 组成理想气体的微观粒子是质点
2. 除碰撞瞬间之外，点粒子之间没有相互作用
3. 点粒子之间以及点粒子和容器器壁之间的碰撞是弹性的
   • 引入全同粒子的概念，点粒子之间碰撞后重新对粒子进行编号
   • 由此理想气体的点粒子永远在做匀速的直线运动，不与其它点粒子发生碰撞，直到它和体系边界（即器壁）发生碰撞.

平衡态的细致平衡原理

用二元组$(\mathbf{r},\mathbf{v})$来描述经典微观粒子的运动状态

平衡态的细致平衡原理即

1. 气体分子的位置在空间中是均匀分布的
2. 气体分子的速度遵循一个不随时间改变的、稳定的分布$n(\mathbf{v})$, 而且该分布是各向同性的（只与速率有关，而与速度方向无关） 由此表明

• 在宏观可测的时间间隔里，平衡态中任意元过程，必有一逆向元过程与之相平衡
• 系统中任意一个分子的运动没有优先方向
• 平衡态中气体分子的热运动和分子碰撞都是完全无序的，在这样的系统中不存在任何整体上有规则的定向运动

理想气体的压强

压强的微观实质

单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的. 但大量分子从总的效果上来看，产生一个持续的平均作用力. 因此气体的压强是大量气体分子在单位时间内施加在单位面积器壁上冲量的统计平均值

$$p=\frac{F}{\mathrm{d}A}=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t\cdot \mathrm{d}A}$$

压强公式的推导

设在体积为$V$的容器里有$N$个质量为$m_0$的分子组成的理想气体. 平衡态下，分子在容器中的分布是均匀的，且速度分布$n(\mathbf{v})$是稳定的、各向同性的

将粒子按照速度分组，第$i$组内所有的粒子速度均为${\mathbf{v}}_i=(v_{ix},v_{iy},v_{iz})$且该组粒子的数密度为$n_i$, 总粒子的数密度就是$n=\sum _i{n}_i=N/V$ 在器壁上取任一面元$\mathrm{d}A$, 并取其法线方向为$x$, 考虑一个分子的一次碰撞

$${\mathbf{v}}_i=(v_{ix},v_{iy},v_{iz})\to {\mathbf{v}}_i^{\prime }=(-v_{ix},v_{iy},v_{iz})$$

该碰撞对器壁施加的冲量为$2m_0{v}_{ix}$ 考虑第$i$组粒子在$\mathrm{d}t$时间内施加于$\mathrm{d}A$上的冲量

$$n_i{v}_{ix}\mathrm{d}t\mathrm{d}A\times 2m_0{v}_{ix}=2m_0{n}_i{v}_{ix}^2\mathrm{d}t\mathrm{d}A$$

其中有约束条件$\boxed{v_{ix}>0}$, 不然无法发生碰撞 从而计算在$\mathrm{d}t$时间内所有分子施加在$\mathrm{d}A$上的总冲量

$$\begin{array}{rlr}\mathrm{d}I& =\sum _{i}2m_0{n}_i{v}_{ix}^2\mathrm{d}t\mathrm{d}A& (v_{ix}>0)\\ & =\sum _i{m}_0{n}_i{v}_{ix}^2\mathrm{d}t\mathrm{d}A& (\forall v_{ix})\end{array}$$

由此得到理想气体的压强为

$$p=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t\mathrm{d}A}=\sum _i{m}_0{n}_i{v}_{ix}^2=m_{0}n\overline{v_x^2}$$

这里$\overline{v_x^2}=\frac{1}{n}\sum _i{n}_i{v}_{ix}^2$是分子速度$x$分量的平方平均 在平衡态下有各项同性$\overline{v_x}=\overline{v_y}=\overline{v_x}=0,\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}=\overline{v^2}/3$, 于是就有

$$\boxed{p=\frac{1}{3}{m}_{0}n\overline{v^2}=\frac{2}{3}n\bar{\epsilon }}$$

其中有气体分子的平均动能$\bar{\epsilon }=m_0\overline{v^2}/2$

对压强公式的讨论

• 压强是宏观量，由对应微观量的统计平均值决定
• 统计规律，而非力学规律. 对个别或少数分子而言，无压强概念
• 分子数密度越大，压强越大
• 分子的平均动能越大，压强越大 当体系达成热平衡状态后，单个气体分子和器壁的碰撞可以是非弹性的，但在宏观层面该压强公式仍然适用

温度的微观解释

由理想气体的状态方程$pV=\frac{m}{M}RT$和理想气体的压强公式$p=\frac{2}{3}n\bar{\epsilon }$可推出

$$\bar{\epsilon }=\frac{3}{2}\frac{RT}{N_A}$$

定义Boltzmann常数 $k_B=R/N_A\approx 1.381\times 10^{-23}\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$, 则有

$$\boxed{\bar{\epsilon }=\frac{1}{2}{m}_0\overline{v^2}=\frac{3}{2}{k}_{B}T}$$

有如下结论

• 分子热运动的平均动能仅与温度$T$有关，并与热力学温度$T$成正比
• 温度和压强一样是统计量；对少数分子，没有温度的概念

讨论：当$T\to 0$时，气体分子的热运动是否会完全停歇？

• 微观粒子的热运动永不停歇，绝对零度也永远达不到
• 系统在达到绝对零度之前，会转变成固体
• 量子理论表明，即使达到绝对零度，组成固体的微观粒子还保持振动的零点能，粒子的平均动能也不会等于零

方均根速率

即大量气体分子速率平方的平均值的平方根

$$\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3k_{B}T}{m_0}}=\sqrt{\frac{3RT}{m_0{N}_A}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

常见气体的方均根速率（除却较轻的氢气和氦气达到$10^4$）的数量级为$10^3\text{ m}/\mathrm{s}$