外场中粒子数密度的分布

重力场中微粒按高度的分布

设大气层是等温的, 且其中的重力加速度 $g$ 不变. 气体在重力场作用下达到平衡态（无容器）

平衡后大气维持在地球周围, 大气的每一个宏观物理量随高度 $z$ 都有一个确定的、稳定的分布 $n (z), p (z)$

由力学平衡条件 $d p = - n m_{0} g d z$ 和理想气体状态方程 $p = n k_{B} T$ 可知

\frac{d p}{p} = - \frac{m _{0} g}{k _{B} T} d z ⟹ p (z) = p_{0} exp (- m_{0} g z / k_{B} T)

故也有

n (z) = n_{0} exp (- m_{0} g z / k_{B} T)

由此计算底面积 $d S$ 柱体（高度无限延伸）中的粒子数为

N = n_{0} \frac{k _{B} T}{m _{0} g} d S

重力场中微粒随高度的等温分布律为

f (z) = \frac{d N ( z )}{N d z} = \frac{m _{0} g}{k _{B} T} exp (- \frac{m _{0} g z}{k _{B} T}) = \frac{m _{0} g}{k _{B} T} exp [- \frac{ε _{p} ( z )}{k _{B} T}]

ε_{p} (r) = - \frac{1}{2} m_{0} ω^{2} r^{2}

n (r) = n_{0} e^{- ε_{p} (r) / k_{B} T} = n_{0} e^{m_{0} ω^{2} r^{2} /2 k_{B} T} p (r) = p_{0} e^{- ε_{p} (r) / k_{B} T} = p_{0} e^{m_{0} ω^{2} r^{2} /2 k_{B} T}

随着与转动轴距离的增加, 粒子数密度和压强都平方指数增加. 故台风、飓风的沿破坏力极大, 而其中心却没什么破坏力.

把重力场中的密度函数推广到任意外场

f_{B} (r) = \frac{n _{0}}{N} e^{- ε_{p} (r) / k_{B} T}

微观粒子按速度 $v$ 的分布

f (v) = (\frac{m _{0}}{2 k _{B} T})^{3/2} exp [- \frac{m _{0} v ^{2}}{2 k _{B} T}] = (\frac{m _{0}}{2 k _{B} T})^{3/2} exp [- \frac{ε _{k} ( v )}{k _{B} T}]

按照位置 $r$ 的分布

f_{B} (r) = \frac{n _{0}}{N} exp [- \frac{ε _{p} ( r )}{k _{B} T}]

二者相乘即为Boltzmann分布律

f_{MB} (v, r) = \frac{n}{N} (\frac{m _{0}}{2 π k _{B} T})^{3/2} exp [- \frac{ε _{p} ( r ) + ε _{k} ( v )}{k _{B} T}]

由此可以得到

\frac{d N ( v , r )}{N} = f_{MB} (v, r) d^{3} v d^{3} r