Resonant Circuit and Quality Factor Q

电路的转移函数$\mathbf{H}(\omega )=\frac{\mathbf{Y}(\omega )}{\mathbf{X}(\omega )}$，这里的$\mathbf{X}(\omega ),\mathbf{Y}(\omega )$是电路的有关相量

$Q$值的第一种意义

LCR串联电路

在一个LCR串联电路中，$\mathbf{H}(\omega )=\frac{\mathbf{U}(\omega )}{\mathbf{I}(\omega )}=\mathbf{Z}(\omega )=j\omega L-\frac{j}{\omega C}+R$，当$\omega ={\omega }_0=\sqrt{LC}$时，$\mathbf{H}(\omega )$的振幅是最小的，也就意味着电路是纯电阻电路且损耗最小，这是一种谐振状态

此时，电路的品质因数被定义为

$$Q:=2\pi \frac{电路存储的峰值能量}{电路在一个周期内消耗的总能量}=2\pi \frac{\frac{1}{2}L{I}_0^2}{(\frac{I_0}{\sqrt{2}}{)}^{2}R\cdot \frac{2\pi }{{\omega }_0}}=\frac{{\omega }_{0}L}{R}$$

其中$I_0$是电路中的峰值电流；由谐振条件，$Q$也可以被写为$\frac{1}{{\omega }_{0}CR}$

LCR并联电路

这时候为了方便，可以定义$\mathbf{H}(\omega )=\frac{\mathbf{I}(\omega )}{\mathbf{U}(\omega )}=\mathbf{Y}(\omega )=-\frac{j}{\omega L}+\frac{\omega C}{j}+\frac{1}{R}$, 也在$\omega ={\omega }_0=\sqrt{LC}$时，电路的导纳的振幅最小，电路是纯电阻电路且损耗最大，达到谐振状态

同样地，这时候电路的品质因数是

$$Q=2\pi \frac{电路存储的峰值能量}{电路在一个周期内消耗的总能量}=2\pi \frac{\frac{1}{2}C{U}^2}{\frac{(\frac{U}{\sqrt{2}}{)}^2}{R}\cdot \frac{2\pi }{{\omega }_0}}={\omega }_{0}CR$$

元件$Q$值

元件的$Q$值$:=\frac{P_{无功}}{P_{有功}}$, 在电路的品质因数$Q_r$中由$R=r_C+r_R$知对于串联电路有

$$\frac{1}{Q_r}=\frac{r_C+r_L}{{\omega }_{0}L}=\frac{r_L}{{\omega }_{0}L}+r_C{\omega }_{0}C=\frac{1}{Q_L}+\frac{1}{Q_C}$$

同时，我们定义耗散因数

$$\tan \delta =\frac{P_{有功}}{P_{无功}}=\frac{1}{Q}$$

其中$\delta$称为损耗角

$Q$值的第二种意义

半功率频率： 在频率$\omega ={\omega }_1,{\omega }_2$时，电路消耗的功率是最大功率的一半，可以通过设置$Z=\sqrt{2}R$得到. 定义带宽为两个半功率频率之差$B={\omega }_2-{\omega }_1$，经过计算可以得到

$$\boxed{B=\frac{R}{L}=\frac{{\omega }_0}{Q}}$$

也就是说，电路的$Q$值越大，谐振电路的带宽更窄、频率选择性更好

在$Q\ge 10$时，可以认为${\omega }_1,{\omega }_2$关于${\omega }_0$对称，此时可以有

$${\omega }_1\approx {\omega }_0-\frac{B}{2};{\omega }_2\approx {\omega }_0+\frac{B}{2}$$

$Q$值的第三种意义

在串联LCR谐振电路中考虑用转移函数表示电压增益

$$H(\omega )=\frac{Z_C}{0+R}=\frac{1}{{\omega }_{0}CR}=\frac{Z_L}{0+R}=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=Q$$

这里的$Q$表示了电压的增益