AC Power

瞬时功率

$$p(t)=v(t)i(t)$$

平均功率

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}p(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)\\ & =V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)\end{array}$$

这里$V_{\text{rms}},I_{\text{rms}}$为电压和电流的有效值

视在功率

在平均功率的计算式中

$$P=VI\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)=S\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)$$

定义视在功率

$$\boxed{S=VI}$$

为电压和电流有效值的乘积 由此定义功率因数

$$\boxed{\text{pf}=\frac{P}{S}=\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)}$$

这里把${\theta }_v-{\theta }_i$称为功率因数角

复功率

交流负载所吸收的复功率$\mathbf{S}$被定义为电压和电流的共轭复数的乘积的一半

$$\mathbf{S}=\frac{1}{2}\mathbf{V}{\mathbf{I}}^{\ast }={\mathbf{V}}_{\text{rms}}{\mathbf{I}}_{\text{rms}}^{\ast }$$

这里的复有效值为

$${\mathbf{V}}_{\text{rms}}=\frac{\mathbf{V}}{\sqrt{2}};{\mathbf{I}}_{\text{rms}}=\frac{\mathbf{I}}{\sqrt{2}}$$

那么我们可以得到

1. 用功功率（即平均功率）$=P=\text{Re}(\mathbf{S})$
2. 无功功率 $=Q=\text{Im}(\mathbf{S})$
3. 视在功率 $=S=\left|\mathbf{S}\right|$
4. 功率因数$=\frac{P}{S}$

拓展

谐振电路和品质因子 三相电