基底

定义

线性空间的极大线性无关组称为的一组

基扩充定理

是有限维线性空间. 如果是线性无关集, 则存在的基底使得

线性映射基本定理II

的一组基为, 上的线性空间且. 则存在唯一的线性映射使得

子空间直和的基底

的基底, 那么的一组基

维数

定义

线性空间的一组基的向量个数为维数

线性同构的维数判定

上的有限维线性空间, 则同构当且仅当. 特别地, 当时, 线性同构. 这告诉我们, 可以通过一个线性同构将任意维子空间当作(转化为)坐标空间来处理

维数公式

商空间的维数

的子空间, 则

子空间维数

的子空间, 则当且仅当

子空间和的维数

等号成立当且仅当是直和

对偶定理

是线性映射, 则