基底

定义

线性空间 $V$ 的极大线性无关组称为 $V$ 的一组基

基扩充定理

设 $V$ 是有限维线性空间. 如果 $S \subset V$ 是线性无关集，则存在 $V$ 的基底 $T$ 使得 $S \subset T$

线性映射基本定理II

设 $V$ 的一组基为 $v_{1}, \dots, v_{n}$ , $W$ 是 $F$ 上的线性空间且 $w_{1}, \dots, w_{n} \in W$ . 则存在唯一的线性映射 $ϕ : V \to W$ 使得

ϕ (v_{1}) = w_{1}, \dots, ϕ (v_{n}) = w_{n}

子空间直和的基底

设 $U = V_{1} \oplus \dots \oplus V_{k}$ 且 $B_{i}$ 为 $V_{i}$ 的基底，那么 $B_{1} \cup \dots \cup B_{k}$ 是 $U$ 的一组基

维数

定义

线性空间 $V$ 的一组基的向量个数为 $V$ 的维数

线性同构的维数判定

设 $V, W$ 是 $F$ 上的有限维线性空间，则 $V$ 和 $W$ 同构当且仅当 $dim (V) = dim (W)$ . 特别地，当 $dim_{F} (V) = n$ 时, $V$ 和 $F^{n}$ 线性同构. 这告诉我们，可以通过一个线性同构将任意 $n$ 维子空间当作（转化为）坐标空间 $F^{n}$ 来处理

维数公式

商空间的维数

设 $U$ 是 $V$ 的子空间，则

dim (V / U) = dim (V) - dim (U)

子空间维数

设 $U$ 是 $V$ 的子空间，则 $U \neq = V$ 当且仅当 $dim (U) < dim (V)$

子空间和的维数

dim (V_{1}) + dim (V_{2}) = dim (V_{1} + V_{2}) + dim (V_{1} \cap V_{2})

及

dim (V_{1} + \dots + V_{k}) \leq dim (V_{1}) + \dots + dim (V_{k})

等号成立当且仅当 $V_{1} + \dots + V_{k}$ 是直和

对偶定理

设 $ϕ : V \to W$ 是线性映射，则

dim (ker ϕ) + dim (im ϕ) = dim (V)

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