商空间

的子空间. 我们在上定义如下等价关系 设, 若, 则称关于等价. 记为所在的等价类, 则

这意味着

并用简记, 并在其上定义如下线性运算

是域上的线性空间, 称其为关于商空间, 其中的零向量为

Tip

自然的线性映射

自然投射, 即对, 容易验证是线性映射

是从上的线性空间的线性映射. 则对

故存在唯一的单射使得

线性映射基本定理

, 其中上的线性空间. 则存在唯一的线性单射使得. 特别地, 线性同构

推论: 设的子空间, 则线性同构

证明:

  • 线性映射是嵌入
  • 线性映射是自然投射
  • 于是的线性映射
  • 注意到

于是是满射

  • ,则, 即. 反之, 设, 则, 于是. 故有 . 所以由线性映射基本定理, 这两个商空间线性同构

推论: 若是直和, 则线性同构

  • 由上一个推论, 线性同构
  • 和线性映射基本定理, 线性同构