商空间

设 $U$ 是 $V$ 的子空间. 我们在 $V$ 上定义如下等价关系设 $x, y \in V$ , 若 $x - y \in U$ , 则称 $x$ 和 $y$ 关于 $U$ 等价. 记为 $x \sim_{U} y$ 设 $x \in V$ 且 $[x]$ 是 $x$ 所在的等价类，则

[x] = x + U

这意味着

V / \sim_{U} = {v + U ∣ v \in V}

并用 $V / U$ 简记 $V / \sim_{U}$ , 并在其上定义如下线性运算

(x + U) + (y + U) = (x + y) + U; α (x + U) = (α x) + U

则 $V / U$ 是域 $F$ 上的线性空间，称其为 $V$ 关于 $U$ 的商空间，其中的零向量为 $0 + U = U$

Tip

$dim (V / U) = dim (V) - dim (U)$

自然的线性映射

设 $π_{U} : V \to V / U$ 是自然投射，即对 $\forall x \in V, π_{U} (x) = x + U$ , 容易验证 $π_{U}$ 是线性映射

设 $ϕ : V \to W$ 是从 $V$ 到 $F$ 上的线性空间 $W$ 的线性映射. 则对 $\forall x, y \in V$

ϕ (x) = ϕ (y) ⟺ ϕ (x - y) = 0 ⟺ x - y \in ker (ϕ) ⟺ x \sim_{k e r (ϕ)} y

故存在唯一的单射 $\overset{ˉ}{ϕ} : V / ker (ϕ) \to W$ 使得

ϕ = \overset{ˉ}{ϕ} \circ π_{k e r (ϕ)}

且

\overset{ˉ}{ϕ} : V / ker (ϕ) x + ker (ϕ) \to W \to ϕ (x)

线性映射基本定理

设 $ϕ \in Hom (V, W)$ , 其中 $W$ 是 $F$ 上的线性空间. 则存在唯一的线性单射 $\overset{ˉ}{ϕ}$ 使得 $ϕ = \overset{ˉ}{ϕ} \circ π_{k e r (ϕ)}$ . 特别地， $V / ker (ϕ)$ 与 $im (ϕ)$ 线性同构

推论: 设 $V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，则 $V_{2} / (V_{1} \cap V_{2})$ 和 $(V_{1} + V_{2}) / V_{1}$ 线性同构

证明：

线性映射 $ϕ : V_{2} \to V_{1} + V_{2}$ 是嵌入
线性映射 $π : V_{1} + V_{2} \to (V_{1} + V_{2}) / V_{1}$ 是自然投射
于是 $ψ = π \circ ϕ$ 是 $V_{2} \to (V_{1} + V_{2}) / V_{1}$ 的线性映射
注意到

(V_{1} + V_{2}) / V_{1} = {(v_{1} + v_{2}) + V_{1} ∣ v_{1} \in V_{1}, v_{2} \in V_{2}} = {(v_{2} + V_{1}) ∣ v_{2} \in V_{2}}

ψ (v_{2}) = π \circ ϕ (v_{2}) = v_{2} + V_{1}

于是 $ψ$ 是满射

若 $v_{2} \in V_{1} \cap V_{2}$ ,则 $v_{2} + V_{1} = V_{1}$ , 即 $V_{1} \cap V_{2} \subset ker (ψ)$ . 反之，设 $v_{2} \in ker (ϕ)$ , 则 $ψ (v_{2}) = v_{2} + V_{1} = V_{1}$ , 于是 $ker (ϕ) \subset V_{1} \cap V_{2}$ . 故有 $ker (ϕ) = V_{1} \cap V_{2}$ . 所以由线性映射基本定理，这两个商空间线性同构

推论: 若 $V_{1} + V_{2}$ 是直和，则 $(V_{1} + V_{2}) / V_{1}$ 和 $V_{2}$ 线性同构

由上一个推论， $(V_{1} + V_{2}) / V_{1}$ 和 $V_{2} / {0}$ 线性同构
由 $id_{V_{2}}$ 和线性映射基本定理， $V_{2}$ 和 $V_{2} / {0}$ 线性同构

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