Bessel Inequality

若$f(x)$在$[-\pi ,+\pi ]$上可积，则有

$$\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)\le \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)\mathrm{d}x$$

其中$a_n,b_n$为$f$的Fourier 系数 注意这里可积直接蕴含了平方可积

在实函数空间$R^R$中，对$f\in R[a,b]$定义模长

$$\left|f(x)\right|=\sqrt{(f,f)}=\sqrt{{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x}$$

考虑勾股定理，若向量${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$两两正交，则

$${\left|\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\right|}^2=\sum _{i=1}^n{\left|a_i\right|}^2$$

在无穷维空间中，上述定理退化为不等式

$${\left|\sum _{i=1}^{\infty }{\alpha }_i\right|}^2\ge \sum _{i=1}^{\infty }{\left|a_i\right|}^2$$

如此，要证明Bessel不等式，只需要证明

$$\pi \left(\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)\right)\le {\left|f(x)\right|}^2$$

注意到

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }1\mathrm{d}x=2\pi & ⟹|1(x){|}^2=2\pi \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}nx\mathrm{d}x=\pi & ⟹|\cos (nx){|}^2=\pi \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}nx\mathrm{d}x=\pi & ⟹|\sin (nx){|}^2=\pi \end{array}$$

故有

$$\begin{array}{rl}|f(x){|}^2& \sim {\left|\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right|}^2\\ & \ge {\left|\frac{a_0}{2}(x)\right|}^2+\sum _{n=1}^{\infty }|a_n\cos nx{|}^2+\sum _{n=1}^{\infty }|b_n\sin nx{|}^2\\ & =\frac{a_0^2}{2}{\pi }^2+\pi \sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)\end{array}$$

故Bessel不等式得证

若$f$的Fourier级数在$[-\pi ,\pi ]$上一致收敛于$f$, 则

$$\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)\mathrm{d}x$$

这就是Parseval等式

推论: Riemann-Lebesgue 定理

若$f\in \mathbb{R}[-\pi ,\pi ]$则

$$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x=0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x=0\end{array}$$

证明

当$n\to \infty$时，Bessel不等式左边级数应当收敛，有必要条件知$a_n^2+b_n^2\to 0$, 即$a_n\to 0$且$b_n\to 0$，由Fourier系数的定义，命题得证