若f(x)在[−π,+π]上可积, 则有
2a02+n=1∑∞(an2+bn2)≤π1∫−ππf2(x)dx
其中an,bn为f的Fourier 系数
注意这里可积直接蕴含了平方可积
在实函数空间RR中, 对f∈R[a,b]定义模长
∣f(x)∣=(f,f)=∫abf2(x)dx
考虑勾股定理, 若向量α1,⋯,αn两两正交, 则
i=1∑nαi2=i=1∑n∣ai∣2
在无穷维空间中, 上述定理退化为不等式
i=1∑∞αi2≥i=1∑∞∣ai∣2
如此, 要证明Bessel不等式, 只需要证明
π(2a02+n=1∑∞(an2+bn2))≤∣f(x)∣2
注意到
∫−ππ1dx=2π∫−ππcos2nxdx=π∫−ππsin2nxdx=π⟹∣1(x)∣2=2π⟹∣cos(nx)∣2=π⟹∣sin(nx)∣2=π
故有
∣f(x)∣2∼2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)2≥2a0(x)2+n=1∑∞∣ancosnx∣2+n=1∑∞∣bnsinnx∣2=2a02π2+πn=1∑∞(an2+bn2)
故Bessel不等式得证
若f的Fourier级数在[−π,π]上一致收敛于f, 则
2a02+n=1∑∞(an2+bn2)=π1∫−ππf2(x)dx
这就是Parseval等式
推论: Riemann-Lebesgue 定理
若f∈R[−π,π]则
n→∞lim∫−ππf(x)cosnxdx=0n→∞lim∫−ππf(x)sinnxdx=0
证明
当n→∞时, Bessel不等式左边级数应当收敛, 有必要条件知an2+bn2→0, 即an→0且bn→0, 由Fourier系数的定义, 命题得证