Fourier Series (Real)

Fourier级数

三角级数

考虑无穷个简谐运动的叠加

$$A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin (n\omega x+{\phi }_n)$$

由于$x$是任意取的, 所以讨论$\omega =1$的情况, 此时有

$$\begin{array}{rl}{A}_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin (nx+{\phi }_n)& =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }(A_n\sin {\phi }_n\cos nx+A_n\cos {\phi }_n\sin nx)\\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\end{array}$$

其中有

$$A_0=\frac{a_0}{2},A_n\sin {\phi }_n=a_n,A_n\cos {\phi }_n=b_b,n=1,2,\cdots$$

它是由三角函数列 （三角函数系）

$$1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots ,\cos nx,\sin nx,\cdots$$

所产生的一般形式的三角级数

三角级数的收敛性

若级数

$$\frac{|a_0|}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(|a_n|+|b_n|)$$

收敛, 则由Werierstrass 判别法可知上述一般的三角级数也收敛

三角函数系的正交性

1. 三角函数系中的函数具有共同周期$2\pi$
2. 三角函数系中每个函数在$[-\pi ,\pi ]$上的积分都为$0$
3. 在三角函数系中仍以两个不同的函数的乘积在$[-\pi ,\pi ]$上的积分都为$0$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (mx+\frac{k\pi }{2})\cos (nx)\mathrm{d}x=0,\cos (mx+\frac{k\pi }{2})\ne \cos (nx)$$ $${\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^2(nx+\frac{k\pi }{2})=\pi$$

其中3.说明三角函数系在$[-\pi ,\pi ]$上具有正交性, 它是正交函数系

以$2\pi$为周期的函数的Fourier级数

若在整个数轴上有

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

且等式右边级数一致收敛 , 则其系数可由$f$唯一表示

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x,n=0,1,2,\cdots \\ b_n& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x,n=1,2,\cdots \end{array}$$

这利用了三角函数系的正交性 , 之所以取$A_0=\frac{a_0}{2}$正是为了方便这点

一般来说, 若$f$是以$2\pi$为周期且在$[-\pi ,\pi ]$上可积的函数, 则由此算出的$a_n,b_n$称为函数$f$的Fourier系数, 以$f$的Fourier系数为系数的三角级数称为$f$的Fourier级数, 记作

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

如果右边的Fourier级数

1. 一致收敛
2. 收敛于$f$本身 则可将$\sim$改为$=$

收敛定理

收敛定理

设$f(x)$是周期为$2\pi$的函数, 如果它满足:

1. $f$在一个周期内连续, 或只有有限个第一类间断点
2. $f$在一个周期内最多只有有限个极值点 那么则称$f(x)$的Fourier级数收敛, 并且

• 当$x$是$f(x)$的连续点时, 级数收敛于$f(x)$
• 当$x$是$f(x)$的间断点时, 级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$ 该定理就是 Fourier级数的收敛定理 , 或称为 Dirichlet–Jordan充分条件

如果把条件加强为$f$具有二阶连续的导函数, 那么它的Fourier级数在$(-\infty ,+\infty )$上 一致收敛

周期延拓

在具体讨论函数的Fourier级数展开式时, 常常只给出函数$f$在$(-\pi ,\pi ]$或$[-\pi ,\pi )$上的解析表达式, 但应当理解为它是定义在整个数轴上以$2\pi$为周期的函数. 即在$(-\pi ,\pi ]$以外的部分按照周期性作周期延拓

计算程序

1. 计算$a_0$
2. 计算$a_n,b_n$, 通常利用分部积分, 可以利用表格积分法
3. 计算在端点 和 不连续点上, 级数收敛至哪个值

注意

• Fourier级数的第一项是$\frac{a_0}{2}$
• 由于周期性, 端点的收敛值等于趋近于区间两侧的极限的平均值, 两个端点的收敛值应当是一样的
• 积分上下界不一定是关于原点对称的, 应该按照定义域来

以$2l$为周期的函数的展开式

设$f$是以$2l$为周期的函数, 通过变量置换

$$\frac{\pi x}{l}=t$$

则可以把$f$变换成以$2\pi$为周期的$t$的$F(t)=f\left(\frac{lt}{\pi }\right)$. 若$f$在$[-l,l]$上可积, 则$F$在$[-\pi ,\pi ]$ 上也可积, 这时函数$f$的Fourier级数展开式就是

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$$

其中

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,n=0,1,2,\cdots \\ b_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,n=1,2,\cdots \end{array}$$

偶函数与奇函数的Fourier级数

若$f$是定义在$[-l,l]$上的偶函数, 则有

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l}$$

右边的级数称为余弦级数

若$f$是定义在$[-l,l]$上的奇函数, 则有

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin \frac{n\pi x}{l}$$

右边的级数称为正弦级数

在实际应用中, 有时候需要把定义在$[0,l]$上的函数展开成余弦级数或正弦级数. 所以, 我们可以先把定义在$[0,l]$上的函数作偶式延拓和奇式延拓, 使它在$[-l,l]$上成为一个偶函数/奇函数. 然后在求其的Fourier展开式

收敛定理的证明

预备定理

Bessel 不等式

Fejer和

若$f(x)$是以$2\pi$为周期的函数, 且在$[-\pi ,+\pi ]$上可积, 则它的Fourier级数的部分和$S_n(x)$可写成

$$S_n(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x+t)\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)}{2\sin \frac{t}{2}}\mathrm{d}t$$

当$t=0$时, 被积函数中的不定式由极限

$$\underset{t=0}{\lim }\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)}{2\sin \frac{t}{2}}=n+\frac{1}{2}$$

来确定

Fourier级数的复数形式

参见Fourier级数的复数形式