数项级数
数项级数技巧.pdf
MA-EX-1
MA-EX-2
积分判别法要求减函数
交错级数的绝对收敛和条件收敛
- 绝对收敛级数性质
- 重排
- 乘积: 在一个二维表格中任意选取相加的路径(比如说斜着加)
函数项级数
MA-EX-3
函数项数列
一致收敛的定义条件、Cauchy条件(常用于不知道极限的时候)和其等价条件(先取sup, 再取极限)
函数项级数
一致收敛的定义条件、Cauchy条件和其等价条件(fn换成Sn)
内闭一致收敛-更弱的条件(反例f(x)=xn在1附近)
大M判别法 - 绝对值放大为一个收敛的正项级数(只和n有关, 和x无关)
或者也采用比较判别法, 绝对值放大为另一个已知一致收敛的函数项级数
一致收敛⟹ 连续性(可弱化为内闭一致收敛)、极限微分积分可交换性、逐项求微分积分
幂级数
MA-EX-4
收敛半径的计算(类似根式判别法)(不要忘记取倒数)
也可以使用比式判别法来计算 n→∞lim∣an∣∣an+1∣=ρ⟹n→∞limnan=ρ
在x=±R时需要单独讨论
极限不存在, 使用上极限R1=limsupn→∞n∣an∣
一致收敛性和和函数的连续性
逐项求导、求积
幂级数的运算
两个幂级数相乘
和函数的计算
- 直接逐项积分
- 下降阶乘幂分解后逐项积分
- 构造幂级数来计算某个数项级数的值
函数的幂级数展开
Taylor级数不一定等于原来的函数
ex,sin(x),cos(x):R
ln(1+x):x∈(−1,1]
(-1, 1), & \alpha \le -1 \\
(-1, 1], & -1 < \alpha < 0 \\
[-1, 1], & \alpha > 0
\end{cases}
推广的两个特殊情况, 得到arctanx和arcsinx的幂级数表达式
Fourier 级数
a0,an,bn的表达式
表达式中的l怎么取, 积分区间怎么取
周期延拓
计算程序
- 计算a0
- 计算an,bn, 通常利用分部积分, 可以利用表格积分法
- 计算在 端点 和 不连续点上, 级数收敛至哪个值
注意
- Fourier级数的第一项是2a0
- 由于周期性, 端点的收敛值等于趋近于区间两侧的极限的平均值, 两个端点的收敛值应当是一样的
- 积分上下界不一定是关于原点对称的, 应该按照定义域来
- 不要随便写=号, 除非级数一致收敛于f本身, 应该写∼
奇延拓和偶延拓
展开为正弦级数和余弦级数
收敛定理
分段光滑的条件
Dirichlet条件
Bessel 不等式
2a02+n=1∑∞(an2+bn2)≤π1∫−ππf2(x)dx
具体见Bessel不等式
点集拓扑
内点 外点 界点 聚点 孤立点
开集 闭集 开域 闭域 (余集Ec)
多元函数极限
MA-Ex-6
MA-Ex-7
MA-Ex-8 综合练习
- 定义 (绝对值放缩)
- Taylor 展开 (等价无穷小)
- 趋于(0,0): 极坐标换元x=rsinθ;y=rsinθ, 利用有界性MA-Ex-8,MA-Ex-10
- 猜极限为0: 夹逼
连续性
P→P0;P∈Dlimf(P)=f(P0)
闭域上连续函数的性质
有最大最小值
可以定义一致连续
多元函数微分
MA-Ex-11
全微分的定义
设D⊂Rn为开集, 有函数f:D→R. 设x0=(x10,…,xn0)t∈D. 如果存在a∈Rn使得对于x0附近的点x, 有
∥f(x)−[f(x0)+a⋅(x−x0)]∥=o(∥x−x0∥),x→x0
则称f在x0处可微
证明可微需要找到这个a, 也就是那些∂xi∂f, 然后利用放缩证明上述等式
可微性和偏导数存在以及连续性之间的关系
二元函数的两种中值定理
在平行于x,y的两个折线上运用两次一元中值定理
设函数f在点(x0,y0)的某邻域内存在偏导数, 若(x,y)属于该邻域, 则存在ξ=x0+θ1(x−x0), η=y0+θ2(y−y0) , 0<θ1,θ2<1使得
f(x,y)=f(x0,y0)+fx(ξ,y0)(x−x0)+fy(x0,η)(y−y0)
在两点连线上运用一次中值定理
设二元函数f在凸开域D⊂R2上可微, 则对任意两点P(a,b),Q(a+h,b+k)∈D, 则存在实数θ∈(0,1)使得
f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a+θh,b+θk)h+fy(a+θh,b+θk)k
高阶偏导数
MA-Ex-9
多元Taylor级数
f(x)=k=0∑m∣α∣=k∑α!Dαf(a)⋅(x−a)α+∣α∣=m+1∑α!Dαf(a+θ(x−a))⋅(x−a)α
空间解析几何
空间曲线 切线 法平面
空间曲面 切平面 法线
例题
数项级数
判断级数n=1∑∞nn+1/n(n+n1)n的敛散性
因为
n→∞liman=n→∞limnnnn=1=0
故发散
证明n=1∑∞n21收敛
n21<n(n−1)1=n−11−n1
判断级数2−11−2+11+3−11−3+11+4−11−4+11的收敛性
因为收敛级数可以任意加括号, 不改变它的收敛性及和, 故假设这个级数收敛, 则计算
n−11−n+11=n−12
这个级数显然是发散的, 故原级数发散
∑sinn1发散因为sinn1∼n1, ∑sin2n1收敛因为sin2n1∼n21
讨论∑nxn−1的敛散性直接用比式判别法, 不用把它求出来
讨论∑1+x2nxn的敛散性要注意到n1+x2n=max{1,x2}
出现了n1和ln(n)如∑n(lnn)p1,∑n(lnn)(lnlnn)p1采用积分判别法
若数列{an}单调减且极限为0, 那么证明x∈(0,2π)时∑ansinnx和∑ancosnx都收敛
因为恒等式
21+k=1∑ncoskx=2sin2xsin(n+21)x
所以级数∑cosnx的部分和数列有界, 由Dirichlet判别法得到∑ancosnx收敛, 同理可证明∑ansinnx收敛
函数项级数
fn=nxe−nx2,x∈R+不一致收敛, 这是因为
fn′=ne−nx2−nx⋅2nxe−nx2=ne−nx2(1−2nx2)
有
xsupfn(x)=fn(2n1)=2ne−1/2
因此
n→∞limxsupfn(x)=0
xn在(−1,1)上不一致收敛但是内闭一致收敛是因为
Rn(x)=Sn(x)−S(x)=1−x1−xn−1−x1=x−1xn
有
x∈(−1,1)sup∣Rn(x)∣≥(n+1n)−1(n+1n)n=n(n+1n)n→∞ as n→∞
而对任意0<a<1有
x∈[−a,a]sup∣Rn(x)∣=1−aan→0 as n→∞
注意靠近1时xn的图像
函数项级数∑nn+1(−1)n(x+n)n一致收敛, 是因为∑nn+1(−1)n是一致收敛的, 且对每一个x (1+nx)n是单调有界的, 故由Abel判别法可得
同样理利用Dirichlet判别法可以得到∑ancosnx一致收敛, 其中an单调趋于0
函数ξ(x)=∑n=1∞nx1在(1,+∞)上具有连续的各阶导函数, 这是因为
un(x)=nx1⟹un(k)(x)=(−1)knxlnkn
考虑闭区间[a,b]⊂(1,∞)先利用大M判别法和估阶技巧
un(k)(x)≤nalnkn≤na(Cnb/k)k=Ckna−b1
我们希望右边的级数收敛, 也就是a−b>1, 故可取b=2a−1, 这时就有∑un(k)(x)在(1,+∞)上内闭一致收敛
幂级数
计算级数∑n=1∞n2xn的收敛域, 令an=n21(别把x也带进去), 有
ρ=n→∞limnan=n→∞limnn21=1
于是R=ρ1=1, 特别地在x=±1时原级数收敛, 故收敛域为[−1,1]
同理, 对于∑n=1∞nxn而言, 有
ρ=n→∞limn1n+11=1⟹R=ρ1=1
而在x=1时原级数发散, 故收敛域为[−1,1)
再看级数
1+3x+22x2+33x3+24x4+35x5+⋯
极限
n→∞limnan
显然是不存在的, 但是考虑上极限
n→∞limsupnan=21
则有R=2, 验证得收敛域为(−2,2)
求缺项级数∑n=1∞n−32nx2n的收敛域, 这个级数的a2n−1都是0, 所以也可取上极限
n→∞limsupn2n−3n1=n→∞limsupn−3n1=31
从而R=3, 注意这里题目里给出的是a2n, 需要自己先化成an的形式, 这道题也可以做x2n→xn的换元, 这样就不用约化an了, 但是求出的收敛半径需要开根号
考虑幂级数∑n=1∞2nn(x−1)n, 它的收敛半径显然是R=2, 但是讨论得收敛域是[−1,3]
证明如下展开式
ln1−x1=x+2x2+3x3+4x4+⋅
只需在下式两边积分即可
1−x1=1+x+x2+x3+⋯
上式两边求导还可以得到
(1−x)21=1+2x+3x2+⋯+nxn−1+⋯
求级数∑n=1∞(−1)n−1n2xn的和函数, 先提出一个x来
S(x)=n=1∑∞(−1)n−1n2xn=xn=1∑∞(−1)n−1n2xn−1=xg(x)
这样就可以积分消掉一个n
∫0xg(t)dt=n=1∑∞(−1)n−1nxn=xn=1∑∞(−1)n−1nxn−1=xh(x)
再次积分消n
∫0nh(t)dt=n=1∑∞(−1)n−1xn=−n=1∑∞(−x)n=−(1+x1−1)=1+xx
于是有
h(x)g(x)S(x)=dxd(1+xx)=(1+x)21=dxd((1+x)2x)=(1+x)31−x=(1+x)3x(1−x)
关键在于适当地提出xk使得剩下的xn−k在积分后获得的n−k+11因子能消去前面的含n系数
求arctan和arcsin的幂级数展开式, 考虑
(1+x)α=k=0∑∞ (kα)xk
分别代入x→x2,α=−1;x→−x2,α=−21, 再两边积分即可, 它们的收敛域都是[−1,1], 需要端点单独验证
求(1−x)ln(1−x)在x=0处的幂级数展开式, 只需要在ln(1+x)的展开式中代入x→−x再两边同乘(1−x)即可
求非初等函数F(x)=∫0xe−t2dt的幂级数展开式, 直接
F(x)=∫0x(1−t2+2!t4−3!t6+⋯)dt=x−3x3+2!15x5−3!17x7+⋯
即可
Fourier 级数
求
f(x)={x,0,0≤x≤π−π<x<0
的Fourier展开式
先确定周期区间为(−π,π)⟹2l=2π⟹l=π
于是
a0=π1∫−ππf(x)dx=π1∫0πxdx=2π
以及
an=π1∫−ππf(x)cosnxdx=π1∫0πxcosnxdx
这里采用表格积分法的技巧, 有
xcosnx1n1sinnx0−n21cosnx
知
∫xcosnxdx∫0πxcosnxdx=nxsinnx+n21cosnx=n21(cosnπ−1)⟹an=n2π1((−1)n−1)
同理计算
bn=π1∫0πxsinnxdx
因为
xsinnx1−n1cosnx0−n21sinnx
所以
bn=π1[−nxcosnx+n21sinnx]0π=−n1(−1)n
于是得到
f(x)=2a0+n=0∑∞(ancosnx+bnsinnx),x∈(−π,π)
特别地, 当x=±π时, 有
f(x)=2f(−π+0)+f(π−0)=2π
求函数
f(x)={0,3,−5≤x<00≤x<5
积分区间为(−5,5),2l=10⟹l=5
a0anbn=51∫053dx=3=51∫053cos5nπxdx=0=51∫053sin5nπxdx=nπ3(1−(−1)n)
且在端点x=±5的时候有f(x)=23, 在不连续点x=0的时候也有f(x)=23
把f(x)=x在(0,2)上展开成余弦级数, 需要做偶式延拓
f(x)={−x,x−2<x<00≤x<2
积分区间(−2,2),2l=4⟹l=2
a0an=21∫−22f(x)dx=∫02xdx=2=21∫−22f(x)cos2nπxdx=∫02xcos2nπxdx
由于
xcos2nπx1nπ2sin2nπx0−n2π24cos2nπx
故有
∫xcos2nπxdx⟹an=nπ2xsin2nπx+n2π24cos2nπx=n2π24((−1)n−1)
于是有
f(x)=2a0+n=1∑∞ancos2nπx
没有需要讨论的特殊点
点集拓扑
对于平面点集
D={(x,y)∣1≤x2+y2<4}
则内点: 1<x2+y2<4, 界点x2+y2=1,x2+y2=4, 聚点1≤x2+y2≤4
二元函数的极限
设
f(x,y)=⎩⎨⎧xyx2+y2x2−y2,0,(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)
求lim(x,y)→(0,0)f(x,y)
∣f(x,y)∣≤xyx2+y2x2+y2=∣xy∣
而
(x,y)→(0,0)lim∣xy∣=0
故
(x,y)→(0,0)limf(x,y)=0
或者利用极坐标换元
lim(x,y)→(0,0)x2+y2xy不存在, 是因为
(x,y)→(0,0)limx2+m2x2mx2=1+m2m
(x,y)→(0,0)limf(x,y),f(x,y)={1,0,0<y<x2,−∞<x<+∞otherwise
不存在, 因为取路径y=2x2和y=0得到的结果不同
典型不存在类型
摘自MA-Ex-8
(x,y)→(0,0)limx2+y6xy3
取路径1:x=y, 有
(x,y)→(0,0)limx2+x6x4=+∞
取路径2:x=y3, 有
(x,y)→(0,0)limx6+x6x6=21
故极限不存在(或者直接取x=ky3)
(x,y)→(0,0)lim(x2+y4)5x6y8
取路径1: x=y, 有
(x,y)→(0,0)lim(x2+x4)5x14=(x,y)→(0,0)limx20+o(x20)x14=+∞
取路径2:x=y2, 有
(x,y)→(0,0)lim25y20y20=251
故极限不存在(或者直接取x=ky2)
(x,y)→(0,0)limsinxyex−ey
由Taylor展开
(x,y)→(0,0)limsinxyex−ey=(x,y)→(0,0)limxyx−y
取两条路径x=y,x=−y即可知极限不存在
(x,y)→(0,0)limx+y+1−1xy
取路径y=−x+kx2(关键是要分母在取完极限后能化成单项式)
(x,y)→(0,0)limkx2+1−1x(−x+kx2)=(x,y)→(0,0)lim21kx2x2(kx−1)=−k2
所以极限不存在
二元函数的连续性
讨论函数
f(x,y)=⎩⎨⎧x2+y2xα,0(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)
在点(0,0)处的连续性, 考虑极限
(x,y)→(0,0)limx2+y2xα
代入路径y=kx则有
(x,y)→(0,0)lim(1+k2)x2xα=(x,y)→(0,0)lim1+k2xα−2
极限存在的必要条件是
(x,y)→(0,0)limxα−2=0
故而需要α>2, 此时一定有
(x,y)→(0,0)limx2+y2xα=(x,y)→(0,0)limx2+y2x2⋅xα≤(x,y)→(0,0)limxα=0
故这也是充分条件(也可利用极坐标换元来证)
讨论
f(x,y)=⎩⎨⎧x2+y2sinxy,0,x2+y2=0x2+y2=0
的连续性的时候需要考虑整个R2上的连续性
多元函数的微分
分析f(x,y)=xy在(x0,y0)处的可微性, 则有
Δf=(x0+Δx)(y0+Δy)−x0y0=x0Δy+y0Δx+ΔxΔy
期中
ρ=Δx2+Δy2→0limρΔxΔy≤t→0lim2tt2=0,t=max{Δx,Δy}
故有
df=x0dy+y0dx
考察函数
f(x,y)=⎩⎨⎧x2+y2xy,0,x2+y2=0x2+y2=0
在(0,0)处的可微性, 先考察原点处的偏导数(由于是分段函数, 只能通过定义来求)
fx(0,0)=x→0limf(x,0)−f(0,0)=0
同理
fy(0,0)=0
如果f在原点可微, 则有
df=Δx2+Δy2ΔxΔy=fx(0,0)Δx+fy(0,0)Δy+o(ρ)=o(ρ)
这告诉我们
ρ→0limρ2ΔxΔy=0
而左边的极限不存在, 故不可微
应用公式S=21absinC计算某三角形的面积, 现在测得a=a0,b=b0,C=c0, 测量误差为Δa,Δb,ΔC, 则有绝对误差
∣ΔS∣≈∣dS∣=∂a∂Sda+∂b∂Sdb+∂C∂SdC≤∂a∂S∣da∣+∂b∂S∣db∣+∂C∂S∣dC∣=21∣bsinC∣Δa+21∣asinC∣Δb+21∣abcosC∣ΔC
和相对误差限SΔS, 注意加绝对值
复合函数高阶导数
摘自MA-Ex-9
T1
u=f(w),w=x2+y2+z2
求
∂x2∂2u,∂x∂uy
解:
∂z∂u∂x2∂2u∂x∂uy=2f′x=∂x∂(2x∂w∂f)=2∂w∂f+2x∂w∂(∂w∂f)∂x∂w=2f′+4x2f′′=∂y∂(2x∂w∂f)=2x∂w∂(∂w∂f)∂y∂w=4xyf′′
T2
z=f(u,v,w);u=x+y;v=xy;z=yx
求
zxx,zxy
解:
zxzxxzxy=∂u∂f+y∂v∂f+y1∂w∂f=∂x∂(∂u∂f+y∂v∂f+y1∂w∂f)=[∂u2∂2f+y∂u∂fv+y1∂u∂fw]+y[∂v∂fu+y∂v2∂2f+y1∂v∂fw]+y1[∂w∂fu+y∂w∂fv+y1∂w2∂2f]=∂u2∂2f+2y∂u∂fv+y2∂u∂fw+y2∂v2∂2f+2∂v∂fw+y21∂w2∂2f=∂y∂(∂u∂f+y∂v∂f+y1∂w∂f)=[∂u2∂2f+x∂u∂fv−y2x∂u∂fw]+y[∂v∂fu+x∂v2∂2f−y2x∂v∂fw]+y1[∂w∂fu+x∂w∂fv−y2x∂w2∂2f]+∂v∂f∂y∂(y)+∂w∂f∂y∂(y1)=∂u2∂2f+(x+y)∂u∂fv+(y1−y2x)∂u∂fw+xy∂v2∂2f−y3x∂w2∂2f+∂v∂f−y21∂w∂f
总结
要写成
z=f(u,v,w);u=x+y;v=xy;z=yx
的形式, 而不是直接
z=f(x+y,xy,yx)
对f(x,y)=x2−2xy+11应用微分中值定理, 证明存在θ(0<θ<1)使得
1−2=2(1−3θ)(1−2θ+3θ2)−3/2
计算
fx=−21(x2−2xy+1)−3/2⋅(2x−2y)=(y−x)(x2−2xy+1)−3/2
和
fy=−21(x2−2xy+1)−3/2⋅(−2x)=x(x2−2xy+1)−3/2
运用两点连线的微分中值定理
x2−2xy+11=fx(x0+θΔx,y0+θΔy)Δx−x02−2x0y0+11+fy(x0+θΔx,y0+θΔy)Δy
总有这样一个因子
[(x0+θΔx)2−2(x0+θΔx)(y0+θΔy)+1]−3/2
展开有
[x02+2θx0Δx+θ2Δx2−2x0y0−2θx0Δy−2θy0Δx−2θ2ΔxΔy+1]−3/2
整理后
[Δx(Δx−2Δy)θ2+2(x0Δx−x0Δy−y0Δx)θ+1+x02−2x0y0]−3/2
可以令Δx=1,Δy=−1,x0=0,y0=1⟹x=1,y=0, 就有
21−1=[1⋅((1−θ)−(0+θ))−1⋅(0+θ)](1−2θ+3θ2)−3/2
即待证明的原式
求f(x,y)=xy在点(1,4)的Taylor公式(取到二阶), 回忆二元情况下的公式
f(x0+a,y0+b)−f(x0,y0)=k=1∑∞k!1p+q=k∑(pk)∂px∂qy∂kf(x0,y0)apbq
取到二阶就是
(1+a)4+b−1=(∂x∂fa+∂y∂fb)+2!1(∂x2∂2fa2+2∂x∂fyab+∂y2∂2fb2)
计算并代入即可
求f(x,y)=x2+5y2−6x+10y+6的极值
fx=fy=0⟹x=3,y=−1
且有
(fxxfyxfxyfyy)=(20010)
正定, 故f(x,y)在该点处取到极小值
函数f(x,y)=(y−x2)(y−2x2)在原点处取到驻点, 但是Hessian矩阵不定无法判断, 但是因为f(0,0)=0且f(x)在原点附近x2<y<2x2的区域小于0, 在原点附近x2>y的趋于大于0, 故f(x,y)不可能在原点处取极值
隐函数
讨论Descartes叶型线x3+y3−3axy=0所确定的隐函数的一阶和二阶导数
设F(x,y)=x3+y3−3axy=0确定了隐函数y=g(x), 则有(注意哪个Jacobian是分母, 哪个是分子)
g′(x)=−FyFx=−3y2−3ax3x2−3ay=ax−y2x2−ay
再次求导得到(注意y也是x的函数)
g′′(x)=−(y2−ax)32a3xy