幂级数是由幂函数序列所产生的函数项级数 通过坐标平移, 我们着重讨论的情况, 即
幂级数的收敛区间
Abel 定理
- 若幂级数在处收敛, 则对满足不等式的任何, 该幂级数收敛且绝对收敛
- 若幂级数在处发散, 则对满足不等式的任何, 该幂级数发散
由此定理可知, 幂级数的收敛域是以原点为中心的区间. 若以表示这个区间的长度, 则称为幂级数的收敛半径 , 也就是使得幂级数收敛的那些收敛点绝对值的上确界, 我们称这个区间为该级数的收敛区间
当时, 幂级数在上收敛, 在上发散, 在上既有可能收敛也有可能发散
收敛区间的计算
设
则
又在正项级数中的根式判别法比比式判别法更强, 也有
故也可通过计算比式的极限来计算收敛半径 计算收敛区间时, 要注意考虑时的特殊状况
幂级数的性质
一致收敛性
幂级数在其收敛域内的任何闭自区间上都一致收敛
若幂级数在时收敛, 则其在上一致收敛
和函数的连续性
幂级数的和函数是上的连续函数
若幂级数在收敛区间的左(右)端点上收敛, 则其和函数也在这一端上左(右)连续
逐项求导、求积
一个幂级数逐项求导、求积后得到的新幂级数的收敛区间和原幂级数相同
因此设幂级数在上的和函数, 对
- 在点上可导且
- 在上可积, 且
上述推论可以推广到任意高阶导数, 且我们可以通过的高阶导数(只需要在的某邻域内有定义)反推出幂级数的各项系数
幂级数的运算
幂级数相等
- 若两个幂级数在的某个邻域内有相同的和函数, 则称这两个幂级数在该邻域内相等
- 若两个幂级数在的某个邻域内相等, 则它们同次幂项的系数相等
幂级数运算
上述等式在涉及幂级数的收敛区间中的最小的那个区间内成立
和函数的计算
- 首先计算幂级数的收敛区间
- 如采用逐项积分
- 如恰当地把提出和号、多次逐项积分 (具体规律参考有限微积分中的下降阶乘幂)
- 如可以构造某个幂级数最后令得到
- (总是想办法把上面的幂级数化成基本几何级数的形式)
函数的幂级数展开
Taylor 级数
如果函数在处存在任意阶的导数, 则称级数
为在处的Taylor级数, 但是这个级数在附近的和函数不一定就是, 如以下典型反例
它在处的任意阶导数都是, 所以它的Taylor级数的核函数在附近应恒为, 故
判定标准
设函数在处具有任意阶导数, 那么在区间上等于它的Taylor级数的和函数的充要条件是: 对一切满足不等式的, 有
这里是在处的Taylor余项, 注意这三种余项形式
- 积分型余项
- Lagrange 余项
- Cauchy 余项
初等函数的幂级数展开式
多项式函数
次多项式函数的幂级数展开式就是它本身
由于
故
也在上都存在
故有Taylor级数
利用比值判别法得到该级数的收敛半径为, 收敛区间为
- 当时用Lagrange余项
- 当时用Cauchy余项
故在上成立
其收敛区间
两个特殊情况
- 令并令
- 令并令
通过积分即可得到的幂级数展开式