Function Series

一致收敛性

函数列

函数列$f_1,f_2,\cdots ,f_n,\cdots$代入$x=x_0$可以得到数列$f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots$ 若此数列收敛，则称函数列在点$x_0$收敛，$x_0$为该函数列的收敛点，反之则称函数列在点$x_0$发散. 函数列在数集$D$上的每一个点都收敛，则称函数列在数集$D$上收敛，此时可定义函数列的极限函数

$$f(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_n(x),x\in D$$

使得函数列$\{f_n\}$收敛的全体收敛点的几何，被称为函数列的收敛域

若对$\forall \epsilon >0$总存在正整数$N$使得当$n>N$时，对一切$x\in D$，都有

$$\left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon$$

则称函数列$\{f_n\}$在$D$上一致收敛于$f$，记作

$$f_n(x)\rightrightarrows f(x)(n\to \infty )$$

和函数的一致收敛相似，这里的$N$仅仅是$\epsilon$的函数，而与$x$的取值无关 这个命题的否定是：存在${\epsilon }_0>0$，对任何正整数$N$, 都有$D$上的某一点$x^{\prime }$和正整数$n^{\prime }>N$使得

$$\left|f_{n^{\prime }}(x^{\prime })-f(x^{\prime })\right|\ge {\epsilon }_0$$

函数列一致收敛的几何意义是：对任何$\epsilon >0$，对于一切序号大于$N$的曲线$y=f_n(x)$都落在以曲线$y=f(x)+\epsilon$和$y=f(x)-\epsilon$为边的带形区域内

函数列一致收敛的Cauchy准则

函数列$\{f_n\}$在数集$D$上一致收敛的充要条件是：对$\forall \epsilon >0$，总存在正数$N$，使得当$n,m>N$时，对一切$x\in D$都有

$$\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\epsilon$$

如果已经知道函数列的极限函数，利用如下定理来判别一致收敛性更为方便： 函数列$\{f_n\}$在区间$D$上一致收敛于$f$的充要条件是

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in D}{\sup }\left|f_n(x)-f(x)\right|=0$$

由此得到推论：函数列$\{f_n\}$在$D$上不一致收敛于$f$的充分必要条件是：存在$\{x_n\}\in D$使得$\left|f_n(x_n)-f(x_n)\right|$不收敛于$0$

内闭一致收敛

设函数列$\{f_n\}$和$f$定义在区间$I$上，若对任意闭区间$[a,b]\subset I$, $\{f_n\}$在$[a,b]$上一致收敛于$f$，则称$\{f_n\}$在$I$上内闭一致收敛于$f$ 若$I=[\alpha ,\beta ]$是有界闭区间，则$\{f_n\}$在$I$上内闭一致收敛于$f$和$\{f_n\}$在$I$上一致收敛于$f$是等价的 内闭一致收敛是比函数一致收敛更弱的条件，例子

• $f_n(x)=x^n$在$[0,1)$上不一致收敛于$f$，但对$\forall \delta >0$, $\underset{x\in [0,\delta ]}{\sup }\left|x^n\right|\le {\delta }^n\to 0(n\to \infty )$, 故其在$[0,1)$上内闭一致收敛

函数项级数

设$\{u_n(x)\}$是定义在数集$E$上的一个函数列，表达式

$$u_1(x)+u_2(x)+\cdots +u_n(x)+\cdots ,x\in E$$

称为定义在$E$上的函数项级数，简记为$\sum u_n(x)$. 并定义部分和函数列

$$S_n(x)=\sum _{k=1}^n{u}_k(x)$$

若部分和函数列在点$x$收敛，则称该函数项级数在点$x$收敛. 在区间上收敛的定义类似

若部分和函数列在数集$D$上一致收敛于$S(x)$，则称该级数在$D$上一致收敛于$S(x)$

函数项级数一致收敛的Cauchy准则

$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{\ast },\text{ s.t. }n>N⟹$

$$\forall x\in D,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }|S_{n+p}(x)-S_n(x)|<\epsilon$$

并定义余项

$$R_n(x)=S(x)-S_n(x)$$

有推论，另一个充要条件

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in D}{\sup }\left|R_n(x)\right|=0$$

比较函数列的收敛条件就是把$f$换成了$S=\sum f$

函数项级数一致收敛的其他判别法

Werierstrass 判别法

充分条件：对于定义在$D$上的函数项级数$\sum u_n(x)$, 如果$\sum M_n$是收敛的正项级数，若对一切$x\in D$有

$$|u_n(x)|\le M_n,n=1,2,\cdots$$

则称函数项级数$\sum u_n(x)$在$D$上一致收敛

由此知函数项级数

$$\sum \frac{\sin nx}{n^2},\sum \frac{\cos nx}{n^2}$$

在$\mathbb{R}$上一致收敛

Werierstrass 判别法也称为M判别法或者优先级数判别法. 若满足上述条件，则称级数$\sum M_n$在$D$上优先于级数$\sum u_n(x)$, 或称前者为后者的优级数

Abel 判别法

充分条件：

• $\sum u_n(x)$在区间$I$上一致收敛
• 对于每一个$x\in I$, $\{v_n(x)\}$是单调的
• $\{v_n(x)\}$在$I$上一致有界，即存在正数$M$，使得$\forall x\in I,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$有$|v_n(x)|<M$

Dirichlet 判别法

充分条件

• $\sum u_n(x)$的部分和函数列在$I$上一致有界
• 对于每一个$x\in I$, $\{v_n(x)\}$是单调的
• 在$I$上$v_n(x)\rightrightarrows 0(n\to \infty )$

具体讨论：什么是一致收敛

单点收敛

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x_0)=S(x_0)$$

本质上就是普通的数项级数收敛

逐点收敛

对$\forall x\in D$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)=S(x)$$

一致收敛

对$\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon )\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ s.t.}\forall x\in I,n>N⟹$

$$|R_n(x)|=|S_n(x)-S(x)|<\epsilon$$

这等价于

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in I}{\sup }|R_n(x)|=0$$

例子:

• 逐点收敛 - $S_n(1),S_n(2),S_n(3)$通过不同的趋势、速度趋向$S(1),S(2),S(3)$
• 一致收敛 - $S_n(1),S_n(2),S_n(3)$通过相同的趋势、速度趋向$S(1),S(2),S(3)$

一致收敛函数列和函数项级数的性质

极限可交换性

$\{f_n(x)\}$一致收敛时

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_n(x)$$

连续性推论

若函数列$\{f_n\}$在区间$I$上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数$f$也在$I$上连续

因为由极限可交换性，$\forall x_0\in I,\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x_0)=f(x_0)$，故得$f$的连续性

由于$f(x)$在$x$上的连续性只和$x$附近的性质有关，故上述推论的条件可弱化为内闭一致收敛

可积性

若函数列$\{f_n\}$在$[a,b]$上一致收敛，且每一项都连续，则

$${\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x$$

也就是说一致收敛情况下，积分和求极限的顺序可以互换

可微性

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{f}_n(x)$$

可微性推论

设$x_0\in I$为$\{f_n\}$的收敛点，且$\{f_n^{\prime }\}$在$I$上内闭一致收敛，则$f$在$I$上可导，且

$$f^{\prime }(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n^{\prime }(x)$$

连续性

若函数项级数$\sum u_n(x)$在区间$[a,b]$上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在$[a,b]$上连续

也就是说，在一致收敛的情况下，无限项求和和求极限可以互换

$$\sum \left(\underset{x\to x_0}{\lim }{u}_n(x)\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\sum u_n(x)\right)$$

逐项求积

$$\sum {\int }_a^b{u}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\sum u_n(x)\mathrm{d}x$$

逐项求导

$$\sum \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{u}_n(x)\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sum u_n(x)\right)$$