Quadratic Forms

定义

设$q:V\to F$是$V$上的二次型, 如果

1. 对于$\forall \mathbf{v}\in V,q(\mathbf{v})=q(-\mathbf{v})$
2. 对于$\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in V$

$$f(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{1}{2}(q(\mathbf{x}+\mathbf{y})-q(\mathbf{x})-q(\mathbf{y}))$$

是$V$上的对称双线性型 (关键是双线性型, 显然是对称的), $f$称为$q$的配极, 或者叫做相伴双线性型(associated bilinear form)

由此定义可知$q(0)=0$

基本性质

设$q:V\to F$. 则$q$是二次型当且仅当存在$f\in {\mathcal{L}}_2^{+}(V)$使得$\forall \mathbf{x}\in V,q(\mathbf{x})=f(\mathbf{x},\mathbf{x})$. 此时$q$的配极是$f$

这告诉我们二次型可以看做是一个二次齐次多项式, 于是有

设$q$是$V$上的二次型. 则对任意的$\alpha \in F$和$\mathbf{v}\in V,q(\alpha \mathbf{v})={\alpha }^{2}q(\mathbf{v})$

表示

设$V$的一组基为${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$, $q$是$V$上的二次型. 则存在唯一的矩阵$A\in {\mathrm{SM}}_n(F)$使得对于任意的$\mathbf{x}=x_1{\mathbf{e}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{e}}_n$有

$$q(\mathbf{x})=(x_1,\cdots ,x_n)A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

这时称矩阵$A$是二次型$q$在基地${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$下的矩阵. 二次型的秩就是这个对称矩阵$A$的秩

此时$q$的配极满足

$$f(\mathbf{x},\mathbf{y})={\mathbf{x}}^{t}A\mathbf{y}={\mathbf{y}}^{t}A\mathbf{x}$$

故二次型的秩和配极的秩相同, 二次型和它的配极（一个对称双线性型）是一一对应的

例子

设$p\in F[x_1,\cdots ,x_n]$齐二次, 多项式函数$p:F^n\to F$由公式$p(\mathbf{v})=p(v_1,\cdots ,v_n)$给出, 其中$\mathbf{v}=(v_1,\cdots ,v_n{)}^t$是$F^n$中的任意元素. 则$p$是$F^n$上的二次型

例如, 对于

$$p=\sum _{1\le i\le j\le n}{\alpha }_{i,j}{x}_i{x}_j$$

有

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_{1,1}& \frac{{\alpha }_{1,2}}{2}& \cdots & \frac{{\alpha }_{1,n}}{2}\\ \frac{{\alpha }_{1,2}}{2}& {\alpha }_{2,2}& \cdots & \frac{{\alpha }_{2,n}}{2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\alpha }_{1,n}}{2}& \frac{{\alpha }_{2,n}}{2}& \cdots & {\alpha }_{n,n}\end{array}\right)$$

且

$$\mathrm{rank}(p)=\mathrm{rank}(A)$$

可一次多项式分解的二次型的秩

设$p\in F[x_1,\dots ,x_n]$非零齐二次. 那么如果$p$可以分解为两个一次多项式之积, 则$p$作为$F^n$上的二次型秩小于$3$

设$p=fg$, 其中$f,g$是$F[x_1,\dots ,x_n]$的齐一次多项式. 令

$$f={\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n,g={\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_n{x}_n$$

其中${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in F$不全为零, ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\in F$也不全为零. 直接计算$p$作为$F^n$上的二次型矩阵为

$$\begin{array}{rl}A& ={\left(\frac{{\alpha }_i{\beta }_j+{\beta }_i{\alpha }_j}{2}\right)}_{n\times n}\\ & =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ ⋮\\ {\beta }_n\end{array}\right)({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\end{array}$$

于是

$$\mathrm{rank}(p)=\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B+C)\le \mathrm{rank}(B)+\mathrm{rank}(C)=2$$

坐标变换

设$V$的两组基为${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$和${\mathbf{e}}_1^{\prime },\dots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime }$且

$$({\mathbf{e}}_1^{\prime },\dots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime })=({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n)P$$

其中$P\in \mathrm{G}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}(F)$ (见 General Linear Group) 设$V$上的二次型$q$在${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$和${\mathbf{e}}_1^{\prime },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime }$下的矩阵分别为$A,B$, 则$B=P^{t}AP$

设$q$是$V$上的二次型. 则存在$V$的一组基${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n$使得$q$在该基下的矩阵是对角阵. 再设该对角阵为$\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$. 则对任意$\mathbf{x}=x_1{ϵ}_1+\cdots +x_n{ϵ}_n\in V$,

$$q(\mathbf{x})={\lambda }_1{x}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n^2$$

这时候我们称${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n$是$q$的一组规范基, 上述方程称为$q$的一个规范型

配方法

• 按照$x_1,x_2,\dots$的顺序依次配方
• 每次需要提出所有含有$x_i^2$和$x_i$的项, 来保证变量替换的可逆性
• 如果没有关于$x_i^2$的项但是有关于$x_i$的项, 则取$j\ne i$, 作换元$y_i=x_i+x_j;y_j=x_i-x_j;y_k=x_k,\forall k\ne i,j$之后再配方