定义
设双线性型f∈L2(V), 若对任意x,y∈V, 有
0=f(x,y)+f(y,x)
则称f为斜对称双线性型, 记为f∈L2−(V)
设f∈L2(V), 则f∈L2−(V)当且仅当对任意x∈V,f(x,x)=0
性质
判定线性无关
设f∈L2−(V),u,v∈V使得f(u,v)=0, 则u,v线性无关
辛平面（sympletic plane）
定义
设f∈L2−(V),u,v∈V使得f(u,v)=0. 则⟨u,v⟩称为f的辛平面
基底
设f∈L2−(V), W是f的辛平面, w1,w2是W的一组基, 则f(w1,w2)=0
线性空间的辛平面分解
设V是F上的n维线性空间, f∈L2−(V), W是f的辛平面. 则存在V中的子空间W满足对任意的x∈W,y∈W使得f(x,y)=0, 且V=W⊕W
设V是F上的有限维线性空间, f∈L2−(V). 则存在f的辛平面W1,…,Wk和子空间U满足
- V=W1⊕⋯⊕Wk⊕U
- f∣U×U是零双线性型
- 对任意i∈{1,2,…,k},x∈W1⊕⋯⊕Wi,y∈Wi+1⊕⋯⊕Wk⊕U, 我们有f(x,y)=0
设V是F上n维线性空间, f∈L2−(V). 则存在V的一组基e1,…,en使得f在该基下的矩阵等于
M=S2S2⋱S2O(n−2k)×(n−2k)
其中
S2=(0−110),2k=rank(f)
F上奇数阶斜对称方阵的行列式等于0; 偶数阶写对称方阵的行列式等于F中某个元素的平方