线性空间

是交换群, 是域, 设数乘

满足

  • 则称是域上的线性空间或者向量空间, 并称基域

坐标空间

是域, 则坐标空间. 如

矩阵空间

关于矩阵的加法和数乘, 上的线性空间

代数空间

是环(不一定交换), 设的子域, 则上的线性空间 如上的线性空间, 上的线性空间, 上的线性空间

映射空间

表示从的所有映射的集合, 则

是线性空间. 如上所有连续函数的集合

零和加法逆

上的线性空间, 设

线性相关性

的一个非空子集. 如果中存在一个有限子集是线性相关的. 则称是一个线性相关集, 否则称其为线性无关集

  • 中, 是线性相关的

上的可微函数, 若它们在上线性相关, 则对

称为二阶 Wronskian上恒正, 则上述命题的逆命题成立

子空间

的非空子集. 如果对于任意的我们有, 则称子空间

每一个子空间都是线性空间

  • F上所有阶对称方阵的集合和所有阶斜对称方阵的集合都是上的子空间
  • 的子空间
  • 闭区间上连续函数的集合和连续可微函数的集合的子空间

线性空间中任意个子空间的交仍然是子空间

子空间的直和

的子空间, , 如果对于任意都存在唯一的使得

则称直和, 并记为

是直和与以下两个命题等价

注意

这和不等价

例子: 对特征 不为的域, 有

因为

并对于多项式

齐次加法分解

子空间的生成元

的非空子集, 并令

也是的一个子空间