Linear Space

线性空间

设$(V,+,0)$是交换群，$(F,+,0,\cdot ,1)$是域，设数乘

$$\begin{array}{r}\cdot :F\times V\to V\\ (\alpha ,\mathbf{v})\to \alpha \mathbf{v}\end{array}$$

满足$\forall \alpha \beta \in F,\mathbf{v},\mathbf{u}\in V$

• $(\alpha \beta )\mathbf{v}=\alpha (\beta \mathbf{v})$
• $1\mathbf{v}=\mathbf{v}$
• $(\alpha +\beta )\mathbf{v}=\alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{v}$
• $\alpha (\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha \mathbf{u}+\alpha \mathbf{v}$ 则称$(V,+,0,\text{数乘},1)$是域$F$上的线性空间或者向量空间，并称$F$为$V$的基域

坐标空间

设$F$是域，则$F^n$是$n$维坐标空间. 如${\mathbb{R}}^n,{\mathbb{Z}}_p^n$

矩阵空间

关于矩阵的加法和数乘，$F^{m\times n}$是$F$上的线性空间

代数空间

$R$是环（不一定交换），设$F\subset R$是$R$的子域，则$R$是$F$上的线性空间 如$\mathbb{C}$是$\mathbb{R}$上的线性空间，$\mathbb{R}$是$\mathbb{Q}$上的线性空间，$F[x_1,\cdots ,x_n]$是$F$上的线性空间

映射空间

令$\mathrm{Map}(S,V)$表示从$S$到$V$的所有映射的集合，则

$$(\mathrm{Map}(S,V),+,0,\text{数乘},1)$$

是线性空间. 如$[a,b]$上所有连续函数的集合$C[a,b]$和$\mathrm{Hom}(F^n,F^n)$

零和加法逆

设$V$是$F$上的线性空间，设$\lambda \in F,\mathbf{v}\in V$则

• $\lambda 0=0$
• $\lambda \mathbf{v}=0⟺(\lambda =0)\vee (\mathbf{v}=0)$
• $(-1)\mathbf{v}=-\mathbf{v}$

线性相关性

设$S$是$V$的一个非空子集. 如果$S$中存在一个有限子集是线性相关的. 则称$S$是一个线性相关集，否则称其为线性无关集

• 在$\mathrm{Map}(\mathbb{R},\mathbb{R})$中，$\sin (x{)}^2,\cos (x{)}^2,1$ 是线性相关的

设$f,g$是$(a,b)$上的可微函数，若它们在$\mathbb{R}$上线性相关，则对$\forall x\in (a,b)$

$$W_2=\det \left(\begin{array}{cc}f(x)& g(x)\\ f^{\prime }(x)& g^{\prime }(x)\end{array}\right)=0$$

称为二阶 Wronskian 若$f$在$(a,b)$上恒正，则上述命题的逆命题成立

子空间

设$W$是$V$的非空子集. 如果对于任意的$\alpha ,\beta \in F,\mathbf{x},\mathbf{y}\in W$我们有$\alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{y}\in W$, 则称$W$是$V$的子空间

每一个子空间都是线性空间

• F上所有$n$阶对称方阵的集合${\mathrm{SM}}_n(F)$和所有$n$阶斜对称方阵的集合${\mathrm{SSM}}_n(F)$都是$M_n(F)$上的子空间
• $F[x{]}^{(d)}=\{p\in F[x]|\mathrm{deg}(p)<d\}$是$F[x]$的子空间
• 闭区间$[a,b]$上连续函数的集合$C[a,b]$和连续可微函数的集合$C^1[a,b]$是$\mathrm{Map}([a,b],\mathbb{R})$的子空间

线性空间$V$中任意个子空间的交仍然是子空间

子空间的直和

设$V_1,\cdots ,V_k$是$V$的子空间，$W=V_1+V_2+\cdots V_k$, 如果对于任意$\mathbf{w}\in W$都存在唯一的${\mathbf{v}}_1\in V_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k\in V_k$使得

$$\mathbf{w}={\mathbf{v}}_1+\cdots +{\mathbf{v}}_k$$

则称$W$是$V_1,\cdots ,V_k$的直和，并记为

$$W=V_1\oplus \cdots \oplus V_k$$

$W$是直和与以下两个命题等价

1. $0={\mathbf{v}}_1+\cdots +{\mathbf{v}}_k⟺{\mathbf{v}}_1=\cdots ={\mathbf{v}}_k=0$
2. $\forall i\in [k],V_i\cap (V_1+\cdots +V_{i-1}+V_{i+1}+\cdots +V_k)=\{0\}$

注意

这和$V_i\cap V_j=\left\{0\right\},\forall i,j\in [k]$不等价

例子：对特征 不为$2$的域$F$, 有

$${\mathrm{M}}_n(F)={\mathrm{SM}}_n(F)\oplus {\mathrm{SSM}}_n(F)$$

因为

$$B=\frac{1}{2}(A+A^t)\in {\mathrm{SM}}_n(F),C=\frac{1}{2}(A-A^t)\in {\mathrm{SSM}}_n(F)$$

并对于多项式

$$P^{(d)}:=\left\{f\in F[x_1,\cdots ,x_n]\mid \mathrm{deg}(f)\le d\right\}$$

有齐次加法分解

$$P^{(d)}=\underset{i=1}{\overset{d}{⨁}}{H}_i$$

子空间的生成元

设$S$是$V$的非空子集，并令

$$⟨S⟩:=\left\{\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{\mathbf{v}}_i|k\in {\mathbb{Z}}^{+},{\alpha }_i\in F,{\mathbf{v}}_i\in S\right\}$$

则$⟨S⟩$也是$V$的一个子空间