Surface Integral

第一型曲面积分

设$S$是空间中可求面积的曲面, $f(x,y,z)$是定义在$S$上的函数, 对曲面$S$作分割$T$, 它把$S$分割成$S_i(i=1,\dots ,n)$, 以$\Delta S_i$记小曲面块$S_i$的面积, $d_{S_i}$记$S_i$的直径, 分割$T$的细度$\Vert T\Vert =\max d_{S_i}$, 在$S_i$上任取点$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$, 若极限

$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$$

存在且与取点的方式无关, 则称此极限为$f(x,y,z)$在$S_i$上的第一型曲面积分, 记作

$${\iint }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S$$

取合适的坐标系, 利用曲面方程把$z$化成以$x,y$表达的函数, 就可以把第一型曲面积分化成二重积分

如果$S$由$z=z(x,y)$来表示, 则利用曲面面积的求法, 有

$${\iint }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

更一般地, 我们设$S$上的每一个点$\mathbf{r}$都可以通过两个参数来决定, 即我们有$\mathbf{r}(s,t)$, 其中$(s,t)$在 某个区域$D$内, 那么

$${\iint }_{S}f\mathrm{d}S={\iint }_{D}f(\mathbf{r}(s,t))\Vert \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\Vert \mathrm{d}s\mathrm{d}t$$

其中$\Vert \cdot \Vert$表示欧式空间中的长度, 这是因为这里的面元$\mathrm{d}S$满足

$$\mathrm{d}S=\Vert \mathrm{d}{\mathbf{l}}_s\times \mathrm{d}{\mathbf{l}}_t\Vert =\Vert \frac{\partial \mathbf{r}(s,t)}{\partial s}\mathrm{d}s\times \frac{\partial \mathbf{r}(s,t)}{\partial t}\mathrm{d}t\Vert$$

第二型曲面积分

曲面的侧

设连通曲面$S$上到处都有连续变动的切平面（或法线）, $M$为曲面$S$上的一点, 曲面在$M$处的法线有两个方向: 当取定其中的一个方向为正方向时, 另一个就是负方向. 设$M_0$为$S$上任一点, $L$是$S$上任一经过点$M_0$, 且不超出$S$边界的闭曲线. 又设$M$为动点, 它在$M_0$处与$M_0$有相同的法线方向, 且有如下特性: 当$M$从$M_0$出发沿$L$连续移动, 这时作为曲面上的点$M$, 它的法线方向也连续地变动. 最后当$M$沿$L$回到$M_0$时, 若这时$M$的法线方向仍然和$M_0$的法线方向一致, 则说该曲面$S$时双侧曲面, 若和$M_0$的法线方向相反, 则说$S$是单侧曲面

单侧曲面的常见例子是Möbius带, 而我们平时用$z=z(x,y)$表示的曲面基本都是双侧曲面, 当以其法线正方向与$z$轴正向的夹角成锐角的一侧为正侧时, 此时另一侧为负侧；当$S$为封闭曲面时, 通常规定曲面的外侧为正侧, 内侧为负侧

积分定义

定义了曲面的正侧和负侧后, 我们就能给出法向量$\hat{\mathbf{n}}$的方向, 那么我们对于向量值函数$\mathbf{f}(x,y,z)$就能类似地定义第二型曲面积分

$${\iint }_S\mathbf{f}\cdot \hat{\mathbf{n}}\mathrm{d}S={\iint }_S(f_x{\hat{n}}_x+f_y{\hat{n}}_y+f_z{\hat{n}}_z)\mathrm{d}S$$

写出分量后即可转换位第一型曲面积分来计算

我们有时候也把上面的式子写成

$$\begin{array}{rl}{\iint }_S\mathbf{f}\cdot \hat{\mathbf{n}}\mathrm{d}S& ={\iint }_S(f_x{\hat{n}}_x+f_y{\hat{n}}_y+f_z{\hat{n}}_z)\mathrm{d}S\\ & ={\iint }_S{f}_x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+f_y\mathrm{d}x\mathrm{d}z+f_z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

设积分曲面可由方程$F(x,y,z)=0$来描述, 则由隐函数定理, 其上某点的法向量由隐函数$z=z(x,y)$确定

$$\mathbf{n}=(z_x(x_0,y_0),z_y(x_0,y_0),-1)\text{ or }\mathbf{n}=(-z_x(x_0,y_0),-z_y(x_0,y_0),1)$$

根据不同的正负规定, 可以得到

$$\hat{\mathbf{n}}=\pm \left(\frac{z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\frac{z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},-\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\right)$$

或者我们采用更一般的形式, 如果光滑曲面$S$可以由参量方程给出

$$S:\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}$$

则有对应的一个法向量

$$\left(\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$$

且它的大小恰好满足

$$\begin{array}{c}{\iint }_S{f}_x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+f_y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+f_z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ =\pm \left[{\iint }_{S^{\prime }}{f}_x\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v+f_y\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v+f_z\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\right]\end{array}$$

这里的正负号取决于法向量$\left(\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$是否在正向一侧

相关定理

散度定理 Gauss's Divergence Theorem 旋度定理 Stokes' Curl Theorem