Multiple Integral

二重积分

二重积分的定义

设$D$为$xy$平面上可求面积的有界闭区域, $f(x,y)$为定义在$D$上的函数. 用任意曲线把$D$分割成$n$个可求面积的小区域${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n$, 以$\Delta {\sigma }_i$表示${\sigma }_i$的面积, 这些小区域构成$D$的一个分割$T$, 以$d_i$表示${\sigma }_i$的直径, 称$\Vert T\Vert =\max d_i$ 为分割$T$的细度, 在每个${\sigma }_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$作和式

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$

称它为函数$f(x,y)$在$D$上属于分割$T$的一个积分和, $({\xi }_i,{\eta }_i)$称为介点

设$f(x,y)$是定义在可求面积的有界闭区域$D$上的函数, $J$是一个确定的数, 若对于任给的实数$\epsilon$, 总是存在某个正数$\delta$, 使得对于$D$的任意分割$T$, 当它的细度$\Vert T\Vert <\delta$时, 属于$T$的所有积分和都有

$$\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i-J\right|<\epsilon$$

则称$f(x,y)$在$D$上可积, 数$J$称为$f(x,y)$在$D$上的二重积分, 记作

$$J={\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

可以把$J$在几何上看做是以$z=f(x,y)$为曲顶, $D$为底的曲顶柱体的有向体积.

如果采用平行于坐标轴的直线网来分割$D$, 则可以把上面的$J$记作

$$J={\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

二重积分的可积性

类似于一元积分, 我们可以定义Darboux上和和下和

$$\begin{array}{r}S(T)=\sum _{i=1}^n\underset{(x,y)\in {\sigma }_i}{\sup }f(x,y)\Delta {\sigma }_i;\\ s(T)=\sum _{i=1}^n\underset{(x,y)\in {\sigma }_i}{\inf }f(x,y)\Delta {\sigma }_i\end{array}$$

则$f(x,y)$在$D$上可积的充要条件是

$$S(T)=s(T),\Vert T\Vert \to 0$$

并且有界闭区域$D$上的连续函数必然可积, 或者更一般地, 设$f(x,y)$在有界闭域$D$上有界, 且其不连续点集$E$是零面积集, 则$f(x,y)$在$D$上可积

二重积分的性质

线性

$${\iint }_D\left[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)\right]\mathrm{d}\sigma =\alpha {\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\beta {\iint }_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

且当$D_1\cap D_2=\varnothing$时,

$${\iint }_{D_1\cup D_2}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

中值定理

若$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续, 则存在$(\xi ,\eta )\in D$使得

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )S_D$$

这里$S_D$是区域$D$的面积

直角坐标系下二重积分的计算

和累次积分的关系

若$D=[a,b]\times [c,d]$, 且右边的积分存在, 则有

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x$$

也就是说积分顺序是任意的

有一组平行边的情况

这时候我们可以把平面区域分成

• $x$型区域$D=\left\{(x,y)\mid y_1(x)\le y\le y_2(x),a\le x\le b\right\}$
• $y$型区域$D=\left\{(x,y)\mid x_1(y)\le x\le x_2(y),c\le y\le d\right\}$ 则可以分别通过

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$

和

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b\mathrm{d}y{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$

来计算

Green公式

用曲线积分计算二重积分

设区域$D$的边界$L$由一条或几条光滑曲线组成. 边界曲线的正方向规定为: 当人沿边界行走时, 区域$D$总是在他的左边.

若函数$P(x,y),Q(x,y)$在闭区域$D$上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有

$${\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma ={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

设$\mathbf{f}(x,y)=P(x,y)\hat{\mathbf{x}}+Q(x,y)\hat{\mathbf{y}}$, $\mathrm{d}\mathbf{s}=\hat{\mathbf{x}}\mathrm{d}x+\hat{\mathbf{y}}\mathrm{d}y$, $\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\hat{\mathbf{x}}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{\mathbf{y}}$,则有

$${\iint }_D(\nabla \times \mathbf{f})\mathrm{d}\sigma ={\oint }_L\mathbf{f}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s}$$

称此为Green公式

曲线积分与路线的无关性

单联通区域

若对于平面区域$D$上任一封闭曲线, 皆可不经过$D$以外点而连续收缩于$D$的某一点, 则称此平面区域为单连通区域, 否则称为复连通区域.

单连通区域也可以这样叙述: $D$内任一封闭曲线所围成的区域内只含有$D$中的点. 更直观地说, 单连通区域就是没有“洞”的区域, 复连通区域是有“洞”的区域

单连通闭区域的性质

设$D$是单连通闭区域, 若函数$P(x,y),Q(x,y)$在$D$内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价

1. 沿$D$内任一按段光滑封闭曲线$L$, 有

$${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$$

2. 对$D$中任一按段光滑曲线$L$, 曲线积分

$${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

与路线无关, 只与$L$的起点和终点有关 3. $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$是$D$内某一函数$u(x,y)$的全微分, 即在$D$内有

$$\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

4. 在$D$内处处成立

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

用来求原函数

如果$P,Q$满足上述四个条件中的任意一个（一般判定满足$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$最为方便）, 则说明了二元函数在以固定的$A(x_0,y_0)$为起点, 可变的$B(x,y)$为终点的曲线$L$上有

$$\begin{array}{rl}u(x,y)& ={\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_{A(x_0,y_0)}^{B(x,y)}P(s,t)\mathrm{d}s+Q(s,t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{x_0}^{x}P(s,y_0)\mathrm{d}s+{\int }_{y_0}^{y}Q(s,t)\mathrm{d}t(x_0,y_0)\to (x,y_0)\to (x,y)\\ & ={\int }_{x_0}^{x}P(s,t)\mathrm{d}s+{\int }_{y_0}^{y}Q(x_0,t)\mathrm{d}t(x_0,y_0)\to (x_0,y)\to (x,y)\end{array}$$

两条不同的路径给出了不同的积分方式, 但是最终的积分结果总是具有性质

$$\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

也就是说, 我们利用上面的积分找到$P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$的一个原函数

二重积分的变量变换

二重积分的变量变换公式

设变换$T:x=x(u,v),y=y(u,v)$将$uv$平面上按段光滑封闭曲线所围成的闭区域$\Delta$一对一地映射成$xy$平面上的闭区域$D$, 函数$x(u,v),y(u,v)$在$\Delta$内分别具有一阶连续偏导数且它们的Jacobian行列式

$$J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)\ne 0$$

则区域$D$的面积

$$\mu (D)={\iint }_{\Delta }\left|J(u,v)\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

注意这里是先取行列式再取绝对值

$$\mu (D)={\iint }_{\Delta }\left|\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

且对于在$D$上可积的函数$f(x,y)$, 有

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{\Delta }f(x(u,v),y(u,v))\left|J(u,v)\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

例如要求积分${\iint }_D\exp (\frac{x-y}{x+y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其中$D$是$x=0,y=0,x+y=1$围成的区域, 那么我们可以作变换

$$T:(x,y)=\left[\frac{1}{2}(u+v),\frac{1}{2}(v-u)\right]$$

则有

$$J(u,v)=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right|=\frac{1}{2}\ne 0$$

而新的区域由$y=1,y=x,y=-x$围成, 有

$$\begin{array}{rl}{\iint }_D\exp (\frac{x-y}{x+y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\iint }_{\Delta }\exp (\frac{u}{v})\frac{1}{2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{1}{2}{\int }_0^1\mathrm{d}v{\int }_{-v}^v\exp (\frac{u}{v})\mathrm{d}u\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{1}v(e-\frac{1}{e})=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{e}\right)\end{array}$$

又例如求抛物线$y^2=mx,y^2=nx$和直线$y=\alpha x,y=\beta x$所围区域$D$的面积, 其中0<m<n,$$\;0<\alpha<\beta, 则可以作变换

$$x=\frac{u}{v^2},y=\frac{u}{v}$$

则有在$uv$平面上$\Delta =[m,n]\times [\alpha ,\beta ]$, 且

$$J(u,v)=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{v^2}& -\frac{2u}{v^3}\\ \frac{1}{v}& -\frac{u}{v^2}\end{array}\right|=\frac{u}{v^4}>0$$

所以

$$\begin{array}{rl}\mu (D)& ={\iint }_D\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{\Delta }\frac{u}{v^4}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{\mathrm{d}v}{v^4}\cdot {\int }_m^{n}u\mathrm{d}u=\frac{(n^2-m^2)({\beta }^3-{\alpha }^3)}{6{\alpha }^3{\beta }^3}\end{array}$$

用极坐标计算二重积分

当积分区域是圆域或圆域的一部分时, 或者被积函数的形式为$f(x^2+y^2)$时, 则我们一般采用极坐标变换

$$T:(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$

其对应的函数行列式为

$$J(r,\theta )=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r$$

容易知道, 极坐标变换把$r\theta$平面上的矩形$[0,R]\times [0,2\pi ]$变换成$xy$平面上的圆域$D=\left\{(x,y)\mid x^2+y^2\le R^2\right\}$. 但是这个对应不是一对一的, 例如$xy$平面上的原点与$r\theta$平面上的直线$r=0$对应, 且此时还有$J(r,\theta )=0$, 但是我们仍然有下列结论

设$f(x,y)$满足上节变量替换的条件, 则在极坐标变换下也成立

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{\Delta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

上面的极坐标变换也可以推广到

$$T:(x,y)=(ar\cos \theta ,br\sin \theta )$$

此时变换公式依然成立, 且有

$$J(r,\theta )=\left|\begin{array}{cc}a\cos \theta & -ar\sin \theta \\ b\sin \theta & br\cos \theta \end{array}\right|=abr$$

三重积分

三重积分定义

设$f(x,y,z)$为定义在三维空间可求体积的有界闭区域$V$上的函数, $J$是一个确定的数, 若对任给的正数$\epsilon$, 总存在某一正数$\delta$, 使得对于$V$的任何分割$T$, 只要$\Vert T\Vert <\delta$, 属于分割$T$的所有积分和有

$$\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i-J\right|<\epsilon$$

则称$f(x,y,z)$在$V$上可积, 数$J$称为函数$f(x,y,z)$在$V$上的三重积分, 记为

$$J={\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V={\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

三重积分换元法

和二重积分换元法类似, 如果函数行列式

$$J(u,v,w)=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v}& \frac{\partial z}{\partial w}\end{array}\right|\ne 0,(u,v,w)\in V^{\prime }$$

则有三重积分换元公式

$${\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_{V^{\prime }}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|J(u,v,w)\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$$

柱坐标变换

考虑变换

$$T:\{\begin{array}{ll}x=r\cos \theta ,& 0\le r<+\infty \\ y=r\sin \theta ,& 0\le \theta \le 2\pi \\ z=z,& -\infty <z<+\infty \end{array}$$

其对应的函数行列式

$$J(r,\theta ,z)=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r$$

故有换元公式

$${\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_{V^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$$

球坐标变换

考虑变换

$$T:\{\begin{array}{ll}x=r\sin \varphi \cos \theta ,& 0\le r<+\infty \\ y=r\sin \varphi \sin \theta ,& 0\le \varphi \le \pi \\ z=r\cos \varphi ,& 0\le \theta \le 2\pi \end{array}$$

也就有

$$J(r,\varphi ,\theta )=\left|\begin{array}{ccc}\sin \varphi \cos \theta & r\cos \varphi \cos \theta & -r\sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & r\cos \varphi \sin \theta & r\sin \varphi \cos \theta \\ \cos \varphi & -r\sin \varphi & 0\end{array}\right|=r^2\sin \varphi$$

即有

$${\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_{V^{\prime }}f(r\sin \varphi \cos \theta ,r\sin \varphi \sin \theta ,r\cos \varphi )r^2\sin \varphi \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta$$

也可以拓展至广义球坐标变换

$$T:\{\begin{array}{ll}x=ar\sin \varphi \cos \theta ,& 0\le r<+\infty \\ y=br\sin \varphi \sin \theta ,& 0\le \varphi \le \pi \\ z=cr\cos \varphi ,& 0\le \theta \le 2\pi \end{array}$$

相应地有

$$J(r,\varphi ,\theta )=abc{r}^2\sin \varphi$$

重积分的应用

曲面的面积

设函数$f(x,y)$在$D$上具有连续的一阶偏导数, 对于方程

$$z=f(x,y),(x,y)\in D$$

确定的曲面, 它的面积为

$$\Delta S={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

或者写成

$$\Delta S={\iint }_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\left|\cos ⟨\mathbf{n},\hat{\mathbf{z}}⟩\right|}$$

质心的位置

对于某三维物体

$$\bar{x}=\frac{{\iiint }_{V}x\rho (x,y,z)\mathrm{d}V}{{\iiint }_V\rho (x,y,z)\mathrm{d}V},\bar{y}=\frac{{\iiint }_{V}y\rho (x,y,z)\mathrm{d}V}{{\iiint }_V\rho (x,y,z)\mathrm{d}V}$$

对于平面薄板

$$\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma },\bar{y}=\frac{{\iint }_{D}y\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma }$$

转动惯量

回顾力学定义

$$J_o={\iiint }_V{R}^2\mathrm{d}m=\iiint \Vert \overrightarrow{OR}{\Vert }^2\rho \mathrm{d}V$$

则有

$$\begin{array}{rl}{J}_x& ={\iiint }_V(y^2+z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_y& ={\iiint }_V(x^2+z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_z& ={\iiint }_V(x^2+y^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_{xy}& ={\iiint }_V(z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_{yz}& ={\iiint }_V(x^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_{zx}& ={\iiint }_V(y^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}V\end{array}$$